Что такое отношение двух чисел? Давайте разберем это понятие на простых примерах. Поймите, как вычислять отношение и где оно применяется. Научитесь решать задачи с использованием отношений.
Определение отношения двух чисел
Отношением двух чисел называют их частное. Например, отношение числа 75 к числу 25 можно записать так:
75:25 или 75/25
Здесь 75 - предыдущий член отношения, 25 - последующий член. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Свойства отношения:
- Если числа умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то отношение не изменится.
- Отношение однородных величин (длин, масс, стоимостей и др.), выраженных в одних единицах, есть число.
Например, отношение массы переплета книги 50 г к массе книги 1000 г равно 0,05 или 5%.
| Масса книги | 1000 г |
| Масса переплета | 50 г |
То есть масса переплета составляет 5% от массы книги.
Что показывает отношение
Давайте разберем еще один числовой пример:
Длина доски равна 5 м.
Отрезали кусок длиной 2 м. Найти отношение длины отрезанного куска к длине всей доски.
Решение: Отношение = Длина куска / Длина доски = 2 м / 5 м = 2/5 = 0,4 или 40%
Полученное отношение 0,4 показывает, что отрезанный кусок составляет 40% от длины всей доски.
Процентное отношение двух чисел
Часто приходится сравнивать числа в процентах. Процентным отношением двух чисел называют отношение первого числа ко второму, выраженное в процентах.
Правило. Чтобы найти процентное отношение, нужно одно число разделить на другое и умножить на 100%.
Например, вычислим, какую долю составляет число 52 от числа 400:
52 / 400 × 100% = 13%
То есть число 52 составляет 13% от числа 400.
Где применяется процентное отношение
Процентные отношения часто встречаются в задачах, когда нужно определить:
- на сколько процентов число больше или меньше другого числа;
- какую долю (процент) одно число составляет от другого.
Например, выполнение плана на 125%, снижение цены на 20%, доля импортных товаров на прилавке магазина и т.д.
Задачи на процентное отношение
Рассмотрим задачу:
Завод должен был произвести за месяц 1200 деталей. Фактически завод изготовил 2300 деталей. На сколько процентов завод перевыполнил план?
Решение: 1) План завода (1200 деталей) принимаем за 100%. 2) Находим процентное отношение фактического выпуска (2300) к плану (1200) по правилу:
2300 / 1200 × 100% = 191,7%
3) На сколько процентов перевыполнен план: 191,7% - 100% = 91,7%
Ответ: план перевыполнен на 91,7%.
Нахождение числа по его процентам
Рассмотрим еще один тип задач, связанных с процентами - это нахождение числа по известным его процентам. Например:
В 700 кг сои содержится 20% масла. Сколько масла в этом количестве сои?
Для решения таких задач удобно использовать способ приведения к единице. Поясним на данном примере:
- 700 кг сои принимаем за условную единицу, т.е. за 100%.
- 20% от этого количества будет составлять масло.
- Строим пропорцию:
100% : 20% = 700 кг : х кг - Решаем пропорцию:
х = 700 * 0,2 = 140 кг
Получаем, что в 700 кг сои содержится 140 кг масла.
Другой подход к решению
Можно найти число по процентам и по-другому - через дробное число, эквивалентное процентам. Например, 20% = 0,2.
Тогда задачу можно решить так:
- 20% = 0,2
- Искомое число (масло) составляет 0,2 от 700 кг сои
- Находим: 700 * 0,2 = 140 кг
Еще одна задача на проценты
Из хлопка-сырца получают 24% волокна по массе. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?
Решение 1. Принимаем 480 кг волокна за 24%. Тогда 100% будет хлопок-сырец.
Строим пропорцию: 24% : 100% = 480 кг : x кг. Получаем x = 2000 кг.
Решение 2. 24% = 0,24 (дробь). Делим массу волокна на эту дробь: 480 кг : 0,24 = 2000 кг.
Ответ: нужно взять 2000 кг хлопка-сырца.
Рассмотрим примеры задач на применение отношений чисел из школьного курса математики.
Задача 1
Длина прямоугольного садового участка равна 100 м, а его площадь 1000 м2. Найдите отношение длины участка к его ширине.
Решение. Из условия находим:
- Длина участка = 100 м
- Площадь S = 100 * x (где x - ширина)
- Подставляя значение S = 1000 м2, получаем: 100 * x = 1000
- Отсюда x = 1000 / 100 = 10 м
Искомое отношение длины к ширине равно: 100 / 10 = 10.
Ответ: 10.
Задача 2
В классе 30% мальчиков. Сколько мальчиков в классе, если всего в нем 25 учеников?
Решение. По условию задачи:
- Всего учеников - 25 человек (принимаем за 100%)
- 30% от этого числа составляют мальчики
Строим пропорцию: 100% : 30% = 25 чел : x чел
Решаем: x = 25 * 0,3 = 7,5 = 8 человек
Ответ: в классе 8 мальчиков.
Задача 3
В сплаве содержится 20% меди и 40% алюминия. Остальная часть - никель. Определите процентное содержание никеля в сплаве.
Решение. Поскольку в сплаве указаны процентные содержания всех компонентов, то их сумма должна быть равна 100%. Запишем это условие:
- Медь - 20%
- Алюминий - 40%
- Никель - х% (неизвестно)
Составим уравнение:
20% + 40% + х% = 100%
Решая его, находим: х = 100% - 20% - 40% = 40%
Ответ: в сплаве содержится 40% никеля.
Задача 4
Велосипедист проехал 60 км, что составляет 30% всей запланированной дистанции. Какова протяженность всего маршрута велосипедиста?
Решение. По условию:
- Пройденный путь - 60 км (это 30% от всей дистанции)
- Обозначим всю дистанцию за x км
Строим и решаем пропорцию:
30% : 100% = 60 км : x км
x = 60 * 100 / 30 = 200 (км)
Ответ: 200 км.
