Эллиптический параболоид, внешне напоминающий чашу или седло, таит в себе уникальные свойства. Он широко применяется в строительстве, архитектуре и технике. Давайте разберемся, что это за поверхность и почему она так полезна.
Определение эллиптического параболоида
Формально эллиптический параболоид определяется уравнением:
x2/p + y2/q = 2z, где p ≥ 0, q > 0
Геометрически это поверхность вращения, образованная вращением эллипса или параболы вокруг оси Oz.
Существует несколько видов параболоидов:
- эллиптический
- гиперболический
- параболический (цилиндр)
Данная статья посвящена свойствам эллиптического параболоида.
У этого типа параболоида есть оси и плоскости симметрии. Вершина параболоида — точка пересечения с осью Oz.
В архитектуре и технике часто встречаются сооружения и детали, имеющие форму эллиптического параболоида: арки, обтекатели, элементы дизайна.
Уравнение эллиптического параболоида
Каноническое уравнение параболоида имеет вид:
x2/p + y2/q = 2z
Здесь p и q — параметры, определяющие форму поверхности. При p=q получаем параболоид вращения.
Изменяя параметры, можно получать параболоиды различной формы — более вытянутые или сплюснутые.
На практике часто используется упрощенный вид:
x2/a2 + y2/b2 = z
где a и b — размеры параболоида вдоль осей Ox и Oy.
Пример конкретного уравнения:
x2/4 + y2/9 = 2z
Оно задает эллиптический параболоид с параметрами p=4, q=9.
Построение эллиптического параболоида
Для построения параболоида по заданному уравнению можно использовать метод сечений.
Рассмотрим общий алгоритм:
- Записать уравнение параболоида
- Построить сечения координатными плоскостями
- Соединить полученные линии
Благодаря симметрии достаточно построить одну четверть параболоида.
На практике такие поверхности часто используются в архитектурных конструкциях — крышах, арках, куполах.
Рассмотрим пример построения параболоида вращения:
x2 + y2 = 2z
Строим сечения плоскостями z=0 и x=0. Получаем окружности радиуса 1. Соединяем их образующими и получаем параболоид вращения с осью Oz.
Также можно строить более сложные параболоиды, вытянутые вдоль одной из осей.
Свойства эллиптического параболоида
Одним из важных свойств эллиптического параболоида является его объем. Для вычисления объема используется формула:
V = (πabp)/3
где a и b — размеры параболоида, а p — параметр из уравнения.
Например, объем параболоида 4x2/9 + y2/16 = z равен 64π/3 куб. единиц.
Площадь поверхности
Площадь боковой поверхности эллиптического параболоида рассчитывается по формуле:
S = π(a + b)l
Здесь l - расстояние от вершины до основания. Для параболоида вращения a=b и формула упрощается:
S = 2πrl
где r - радиус основания.
Применение в строительстве
Благодаря высокой прочности и устойчивости эллиптические параболоиды широко используются в строительстве различных сооружений - мостов, ангаров, вокзалов.
Из параболоидных конструкций возводят:
- Купола
- Арки
- Навесы
Их преимущества — большой объем при минимуме строительных материалов, экономичность, надежность, оригинальный внешний вид.
Применение в промышленности
В машиностроении эллиптические параболоиды используются для изготовления корпусов приборов, обтекателей.
Их достоинства:
- Малый вес
- Прочность
- Обтекаемая аэродинамическая форма
Интересный факт: в СССР был разработан параболоидный проект спутниковой антенны диаметром 70 метров.
Эстетические аспекты
С точки зрения дизайна и эстетики эллиптические параболоиды обладают рядом достоинств:
- Плавные, гармоничные линии
- Визуальная легкость
- Современный футуристический вид
Поэтому такие формы с успехом применяются в современной архитектуре и дизайне.
Задачи на эллиптический параболоид
Рассмотрим несколько типовых задач на эллиптический параболоид:
Задача 1
Дано уравнение эллиптического параболоида: x2/4 + y2/9 = 2z. Найти площадь его боковой поверхности, если высота параболоида равна 5.
Решение:
По формуле для параболоида вращения: S = 2πrl, где r - радиус основания, l - высота. Радиус основания r = 3. Тогда площадь S = 2·3,14·3·5 = 94,2.
Ответ: 94,2.
Нестандартные задачи
Задача 2
Придумайте способ использования свойств эллиптического параболоида в быту.
Решение:
Можно использовать форму параболоида при создании оригинальных светильников или абажуров. Или сделать параболоидное зеркало для бритья. Или оригинальную вазу в виде усеченного параболоида.
Эллиптический параболоид в искусстве
Уникальная форма эллиптического параболоида нашла применение и в изобразительном искусстве.
Скульптуры
Скульпторы используют плавные линии параболоида для создания авангардных арт-объектов, монументальных композиций, предметов ландшафтного дизайна.
Яркий пример - 39-метровая скульптура «Парус» в Санкт-Петербурге с характерным параболоидным парусом.
Архитектурные формы
В архитектуре параболоид часто используется при строительстве футуристических зданий, концертных залов, выставочных павильонов.
Примеры:
- Здание агентства Bloomberg в Лондоне
- Музей Гуггенхайма в Нью-Йорке
- Концертный зал «Бурдж Халифа» в Дубае
Графика и живопись
В графике и живописи параболоид может использоваться как элемент композиции, придавая изображениям динамику, легкость, оригинальность форм.
Также возможно создание абстрактных полотен, где параболоид становится главным объектом, передающим авторский замысел произведения.
Перспективы применения
У параболоидных конструкций и форм большое будущее в современной архитектуре и дизайне.
Возможные направления:
- Мосты, эстакады, навесы
- Спортивные арены
- Выставочные и концертные площадки
- Авангардные интерьеры
