"Диагональ делит и правит" - так говорили геометры еще во времена Гиппократа. И действительно, это понятие является одним из фундаментальных в геометрии, помогающее изучать многоугольники и многогранники. Давайте разберемся, что такое диагональ, какие у нее удивительные свойства и где она применяется от геометрических построений до 3D-печати. Уверен, вы откроете для себя много нового!
Определение и свойства диагонали
Диагональ ( греч. διαγώνιος от δια- «через» и γώνια «угол») в геометрии — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника или две вершины многогранника, не лежащие на одной грани.
Например, на рисунке диагональ AB соединяет две несмежные вершины A и B четырехугольника ABCD:
Основные свойства диагонали:
- Диагональ делит многоугольник на два треугольника
- В выпуклом многоугольнике диагонали лежат внутри него
- Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника
Таким образом, диагональ является важной линией симметрии, позволяющей изучать свойства геометрической фигуры.
Где применяются диагонали
Знание свойств диагоналей позволяет эффективно использовать их при решении многих геометрических задач.
-
Нахождение площади многоугольника через диагонали. Например, площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, опущенную на эту сторону. А высота параллелограмма как раз и является отрезком его диагонали.
-
Построение центра вписанной в четырехугольник окружности с использованием пересечения его диагоналей.
-
Доказательство различных утверждений о свойствах многоугольников, используя знания об их диагоналях. Например, равенство диагоналей ромба позволяет легко доказать, что его углы равны.
Кроме геометрии, диагонали широко используются в архитектуре для придания зданиям прочности и выразительности. Это диагональное армирование железобетонных конструкций, перекрещивающиеся несущие элементы мостов, арок и ферм.
В современных технологиях тоже применяются диагонали. Например, в 3D-печати используются специальные узоры заполнения модели по диагонали. А в цифровой обработке изображений диагональная интерполяция пикселей позволяет повысить четкость.
Таким образом, несмотря на древнее происхождение, понятие диагонали до сих пор активно применяется в самых разных областях! В следующем разделе мы узнаем об истории появления этого термина и любопытных фактах с ним связанных.
История возникновения термина "диагональ"
Слово "диагональ" пришло в русский язык из европейских языков, вероятнее всего, из немецкого. Впервые оно упоминается в научной литературе в начале 18 века.
Первоначально этот термин использовался в геометрии для обозначения отрезка, соединяющего две несмежные вершины многоугольника. А в современном понимании он стал применяться с 19 века.
Знаменитые математики, изучавшие диагонали
Многие выдающиеся математики занимались исследованием диагоналей и их удивительных свойств.
Евклид в своих "Началах" еще в 3 веке до н.э. доказал известную теорему о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
А Гаусс в 19 веке доказал, что правильный семнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, так как сторона такого многоугольника выражается через его диагональ рациональным числом.
Любопытные факты про диагонали
Существует много интересных исторических фактов, связанных с диагоналями:
- Термин "диагональные брюки" пришел из мира моды 19 века, когда французский генерал Галифе придумал брюки со скошенным кроем, чтобы скрыть ранение ноги.
- Знаменитая картина Брейгеля "Падение Икара" построена на диагональной композиции, создающей ощущение драматичного движения.
- Понятие диагонали используется не только в геометрии, но и в теории графов, теории множеств, при описании матриц.
В архитектуре и строительстве диагонали играют важную роль.
