В геометрии часто возникает необходимость найти угол между касательной к окружности и хордой. Эта величина помогает решать множество задач и применяется в различных областях науки и техники. Давайте разберемся, что такое угол между касательной и хордой, как его вычислить и для чего он нужен.
Основные понятия и определения
Прежде чем перейти к углу между касательной и хордой, давайте определим базовые понятия.
Окружность - это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки, называемой центром.
Через центр окружности можно провести отрезок, соединяющий две точки на окружности. Такой отрезок называется хордой. Самая длинная хорда называется диаметром .
Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
Теперь можно дать определение углу между касательной и хордой. Это угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания.
Теорема об угле между касательной и хордой
Для угла между касательной и хордой справедлива важная теорема:
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними.
Эту теорему можно доказать с помощью построения. Нарисуем окружность и проведем в ней произвольную хорду AB. Затем проведем касательную BC к точке B. Получим два угла: ∠ABC и ∠ABD.
Соединим точки A и B с центром O. Получим равнобедренный треугольник OAB, поскольку OA = OB. Угол ОВС прямой, так как радиус перпендикулярен касательной.
Дуга AB равна углу AOB. Но угол AOB вдвое больше углов ∠ABC и ∠ABD, поскольку треугольник OAB равнобедренный. Значит, каждый угол между хордой и касательной равен половине дуги AB.
Таким образом, теорема доказана.
Следствия из теоремы
Из теоремы об угле между касательной и хордой вытекает важное следствие: этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, что и хорда.
Действительно, как известно, вписанный угол измеряется дугой, на которую он опирается. А дуга, о которой идет речь, та же самая, стягиваемая хордой.
Поэтому угол между касательной и хордой всегда можно выразить через соответствующий вписанный угол, и наоборот.
Сравнение с другими углами
Угол между касательной и хордой связан с некоторыми другими углами, используемыми в геометрии:
- Центральный угол - угол между радиусами, проведенными к концам дуги
- Вписанный угол - угол с вершиной на окружности, стороны которого касаются окружности
- Опирающийся угол - угол с вершиной внутри окружности, стороны которого касаются окружности
Угол между касательной и хордой меньше соответствующего центрального угла, но равен вписанному и опирающемуся углам, опирающимся на ту же дугу.
Применение теоремы на практике
Теорема об угле между касательной и хордой широко используется на практике при решении геометрических задач. Рассмотрим основные приемы применения теоремы.
Решение простейших задач
Для начала разберем пример простейшей задачи на применение теоремы.
Дано: касательная BC к окружности и хорда AB, угол ∠ABC = 30°. Найти: длину дуги AB.
По теореме, угол между касательной и хордой равен половине заключенной дуги. Значит, дуга AB в 2 раза больше данного угла и равна 2 * 30° = 60°.
Ответ: 60°.
Как видим, для решения таких задач достаточно применить теорему и сделать простые вычисления.
Задачи повышенной сложности
Рассмотрим более сложную задачу на применение теоремы.
Дана окружность с центром в точке O и хорда AB. Из точки C вне окружности проведены касательная CD и секущая CE, пересекающая окружность в точке E. Найти угол ACB, если известно, что CD = 5, CE = 13, AE = 12.
Здесь нужно выразить искомый угол ACB через угол ADE с помощью теоремы. По теореме о касательной и секущей:
CD^2 = CE * AE
5^2 = 13 * 12 25 = 156
Значит, треугольник ADE прямоугольный и угол ADE равен 90°. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой:
∠ACB = 0.5 * ∠AOB ∠AOB = 180° - 90° = 90° ∠ACB = 0.5 * 90° = 45°
Ответ: 45°.
Как видим, решение таких задач требует комбинации нескольких теорем планиметрии.
Применение теоремы в заданиях ЕГЭ
Задачи на применение теоремы об угле между касательной и хордой часто встречаются на экзамене по математике в форме ЕГЭ. Рассмотрим пример такого задания.
В окружности проведена хорда AB и касательная CD, причем CD перпендикулярна AB. Найдите градусную меру дуги AD, если градусная мера дуги AB равна 140°.
Здесь из условия перпендикулярности касательной и хорды следует, что треугольник ABC прямоугольный и ∠ACB = 90°. По теореме:
∠ADB = 0.5 * ∠AB = 0.5 * 140° = 70°
Так как ∠ADB + ∠ADB = 180°, то ∠ADB = 180° - 70° = 110°.
По определению, дуга AD равна смежному центральному углу ADB. То есть, дуга AD = 110°.
Ответ: 110°.
Зная основные приемы, можно успешно решать подобные задачи ЕГЭ.
