Степень с целым показателем - это важное математическое понятие, которое пригодится для решения многих практических задач. Например, при вычислении объемов, площадей, производительности и других физических величин.
Определение степени с целым показателем
Степень с целым показателем - это выражение вида an, где a - основание степени, n - целое число, показатель степени.
Примеры степеней с положительным целым показателем: 23 = 8, 52 = 25.
Если показатель степени отрицательное целое число, например -3, то степень записывается как дробь:
a-n = 1 / anНапример: 3-2 = 1 / 32 = 1 / 9
Степень с нулевым показателем для любого ненулевого основания равна 1: a0 = 1
Основные свойства степени с целым показателем
Рассмотрим 3 основных свойства степени, которые используются при вычислениях и преобразованиях:
-
Возведение степени в степень:
(am)n = am∙n -
Умножение степеней с одинаковым основанием:
am ∙ an = am+n -
Деление степеней с одинаковым основанием:
am / an = am-n
Эти свойства позволяют быстро выполнять сложные преобразования со степенями, например:
(23)4 = 23·4 = 212
x5 · x-2 = x5 + (-2) = x3
Правила действий со степенями с целыми показателями
При сложении, вычитании, умножении и делении чисел, записанных в виде степени, действия производятся по обычным правилам, с учетом свойств степени.
Например:
- Сложение:
23 + 33 = 8 + 27 = 35 - Вычитание:
52 - 22 = 25 - 4 = 21 - Умножение:
(32)·(35) = 9·243 = 2187 - Деление:
643 / 642 = 64
Основные ошибки при вычислениях:
- Неверное применение свойств степени
- Неправильное определение знака степени отрицательного числа
- Деление на ноль
Чтобы избежать ошибок, нужно хорошо знать определения и свойства степени.
Возведение отрицательных чисел в степень
При возведении отрицательных чисел в степень важно определить знак результата.
Если отрицательное число возводится в четную степень, результат положительный.
Например: (-2)4 = 16
Если отрицательное число возводится в нечетную степень, результат отрицательный.
Например: (-5)3 = -125
Преобразование выражений со степенями
Часто при решении задач требуется преобразовать выражения, содержащие степени, к более простому виду.
Если в выражении присутствуют одинаковые основания степени, можно воспользоваться свойствами умножения и деления степеней для упрощения.
Например:
32 ∙ 34 ∙ 3-3 = 32+4-3 = 33 = 27
Также можно раскрывать скобки по правилам:
(x2 ∙ x)3 = x2∙3 ∙ x3 = x6 ∙ x3 = x9
Упрощение дробно-рациональных выражений
Если в числителе и знаменателе дроби содержатся одинаковые основания степени, их можно сократить:
((x2)3) / (x4)2 = (x6) / (x8) = x6-8 = x-2
Решение уравнений со степенями
Для решения простейших уравнений вида xn = a используют следующие приемы:
- Возводят обе части уравнения в степень
1/n - Применяют логарифмирование
Например, решим уравнение x4 = 16:
x4 = 16x = 161/4 = 2
Решение неравенств со степенями
При решении неравенств типа (x - 3)2 > 9 используют:
- Раскрытие скобок
- Изоляция степени
- Решение полученного неравенства
Применение свойств степени при решении уравнений
Рассмотрим несколько примеров решения уравнений с применением свойств степени:
Решим уравнение: x3 - 8x = 0
- Группируем слагаемые:
x3 - 8·x = 0 - Применяем свойство деления степеней:
x3 - 8·x1 = 0 - Получаем:
x3-1 = 0 - Тогда
x = 0
Еще один пример:
Решим уравнение: (2x - 3)2 = 25
- Раскрываем скобки:
4x2 - 12x + 9 = 25 - Группируем слагаемые:
4x2 - 12x - 16 = 0 - Решаем полученное квадратное уравнение
Задачи с показательным ростом
Степень часто используется в задачах на сложные проценты и экспоненциальный рост.
Например, численность бактерий удваивается каждый час. Если начальное количество было 5 бактерий, то через 4 часа получится:
- Через 1 час будет 5·2 = 10 бактерий
- Через 2 часа — 10·2 = 20 бактерий
- Через 3 часа — 20·2 = 40 бактерий
- Через 4 часа — 40·2 = 80 бактерий
Если записать в виде степени 2, получаем формулу численности:
5·2t, где t - количество часов.
Подставляя t = 4, получаем ответ 80 бактерий.
Нахождение корня n-й степени
Свойства степени используются также при вычислении корней:
Например, найдем корень пятой степени из 32:
321/5 = 2
Применение степени в геометрических задачах
Понятие степени широко используется при решении геометрических задач, связанных с вычислением площадей и объемов.
Например, площадь квадрата со стороной a вычисляется по формуле:
S = a2
А объем куба с ребром a:
V = a3
Покажем применение степени для вычисления площади круга. Известно, что
S = π·R2
где R - радиус круга. Например, радиус круга равен 5 см. Тогда его площадь равна:
S = 3,14·52 = 3,14·25 = 78,5 см2
Вычисление физических величин
В физике и технике часто используется запись величин в степени:
- Мегаватт-часы (МВт·ч) — энергия в миллионах ватт, умноженная на часы
- Километры в час (км/ч) — скорость в километрах, деленная на часы
- Мегапаскаль (МПа) - давление в миллионах паскалей
Степени также используются в законах:
- Закон Кулона с электрическими зарядами
q1иq2содержит квадрат расстояния между ними:F ~ (q1·q2) / r2 - В третьем законе Кеплера фигурирует куб расстояния планеты от Солнца:
T2 ~ R3, где T - период обращения, R - радиус орбиты.
Использование степени в экономических расчетах
Степень широко используется в экономике и финансовых расчетах.
Например, при подсчете сложных процентов по вкладам, кредитам, ипотеке.
Пусть по вкладу начисляется 10% годовых с ежемесячной капитализацией. Тогда формула расчета накопленной суммы имеет вид:
S = S0·(1 + i/12)t·12
где S0 - начальная сумма вклада, i - процентная ставка в долях (0,1), t - количество лет, 12 - количество месяцев.
Другой пример - оценка стоимости бизнеса методом дисконтированных денежных потоков. При этом будущие денежные потоки приводятся к текущей стоимости при помощи степени:
PV = ∑ CFt / (1 + r)t
где PV - текущая стоимость, CFt - денежный поток в периоде t, r - ставка дисконтирования, t - номер периода.
Анализ рисков финансовых операций
С помощью степени можно количественно оценить риски инвестиций.
Рассмотрим пример. Пусть прибыль по сделке распределена нормально, математическое ожидание прибыли составляет $1000, среднеквадратическое отклонение (риск) равно $100. Тогда вероятность получения убытка составляет:
P(убыток) = P(прибыль ≤ 0) = Φ(-1000/100) ≈ 3,7%
Где Φ(x) - функция Лапласа. Это означает, что вероятность получить убыток составляет около 3,7%. Чем выше риск (стандартное отклонение), тем выше вероятность убытка.
