Подобные слагаемые - неотъемлемая часть школьного курса алгебры. Но что такое подобные слагаемые, как их распознавать в выражениях и как использовать для решения задач? Давайте разберемся!
Что такое подобные слагаемые? Определение
Чтобы понять, что такое подобные слагаемые, давайте разберемся с составными элементами этого понятия.
Слагаемое - это часть суммы в математическом выражении, отделенная знаком плюс или минус. Например, в сумме 5 + 3x - 2y три слагаемых: 5, 3x и -2y.
У слагаемого может быть буквенная часть - это сочетание букв, обозначающих переменные величины. Буквенная часть может состоять из одной буквы, например x, или из произведения нескольких, например xy.
Теперь определение: подобными слагаемыми называются слагаемые, у которых одинакова буквенная часть.
Например, в выражении 5x + 2x слагаемые 5x и 2x подобны, потому что их буквенная часть одинакова - это x.
А вот слагаемые 3x и 4y не являются подобными, так как их буквенные части разные - x и y.
Особенность подобных слагаемых в том, что их коэффициенты (числа перед буквенной частью) могут быть разными. Главное - чтобы буквенная часть совпадала.
Слагаемые, не имеющие буквенной части, тоже считаются подобными. Например, 5 + (-3) - подобные слагаемые, так как у обоих слагаемых буквенная часть отсутствует.
Итак, еще раз кратко: подобными слагаемыми называются слагаемые с одинаковой буквенной частью или без буквенной части.
Правила приведения подобных слагаемых
Зная, что такое подобные слагаемые, давайте разберемся, как их использовать. В математике есть правила приведения подобных слагаемых - это когда подобные слагаемые заменяются более простым выражением.
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно выполнить 3 шага:
- Собрать подобные слагаемые вместе.
- Вынести за скобки их общую буквенную часть.
- Сложить коэффициенты подобных слагаемых.
Например, преобразуем выражение 5x + 3x - 2x:
- Собираем подобные слагаемые вместе:
5x + 3x - 2x - Выносим общую буквенную часть x за скобки:
x(5 + 3 - 2) - Складываем коэффициенты:
x(5 + 3 - 2) = x(6) = 6x
Получили более простое выражение 6x, заменив три слагаемых с x одним.
Для экономии времени приведение подобных слагаемых часто записывают по формуле:
Коэффициенты складывают и умножают на общую буквенную часть.
Это правило основано на распределительном свойстве умножения:
a(b + c) = ab + ac
Применяя его справа налево, получаем формулу приведения подобных слагаемых.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров приведения подобных слагаемых с пояснениями.
Примеры приведения подобных слагаемых
Рассмотрим выражение:
2x + 5x - 3x
Здесь все три слагаемых подобны, так как имеют общую буквенную часть x.
Применим правило приведения подобных слагаемых:
- Собираем подобные слагаемые вместе:
2x + 5x - 3x - Выносим общую буквенную часть x за скобки:
x(2 + 5 - 3) - Складываем коэффициенты:
x(2 + 5 - 3) = x(4) = 4x
Итого, выражение 2x + 5x - 3x приводится к виду 4x.
Рассмотрим еще один пример:
3x + 5 + 2x - 7
Здесь подобны слагаемые 3x и 2x. А слагаемые 5 и -7 подобны, так как не имеют буквенной части.
Применяем правило:
3x + 2x + 5 - 7x(3 + 2) + (5 - 7)5x - 2
Получили приведенное выражение 5x - 2.
Как видите, правило приведения подобных слагаемых позволяет значительно упростить сложные выражения, заменяя суммы одночленов более простыми выражениями. Это очень полезно при решении уравнений, задач, а также при выполнении различных преобразований выражений.
В следующих частях статьи мы подробно рассмотрим, где и как применяются подобные слагаемые.
Применение подобных слагаемых
Где же на практике применяются подобные слагаемые и умение приводить их к более простому виду? Давайте рассмотрим основные области.
Подобные слагаемые в преобразовании выражений
Одно из основных применений подобных слагаемых - это упрощение сложных алгебраических выражений путем замены сумм одночленов более простым видом. Это часто необходимо при решении уравнений, дробей, при подготовке к ЕГЭ. Давайте еще раз вспомним на примере:
5x + 3x - 8x
Приводим подобные слагаемые:
x(5 + 3 - 8) = x(0) = 0
Получилось гораздо проще!
Подобные слагаемые в решении уравнений
Какие слагаемые называются подобными - это важный вопрос и при решении уравнений. Часто один из шагов - приведение подобных слагаемых в левой или правой части уравнения. Например:
4x + 3x = 15
Приводим подобные:
7x = 15
Теперь уравнение решить проще!
Какие слагаемые удобно приводить
Мы выяснили, какие слагаемые называются подобными и как их приводить. Но когда же это действительно нужно делать, а когда нет смысла?
Обычно имеет смысл приводить:
- Много подобных слагаемых (3 и больше)
- С большими коэффициентами
- Содержащие переменные в степени
Например, в выражении 2x + 5x + 7x стоит привести подобные, а вот в 2x + 3x можно и не приводить.
Называются ли эти слагаемые подобными?
Часто бывает полезно проверить, называются ли в выражении слагаемые подобными. Это поможет определить, можно ли их привести. Давайте рассмотрим пример:
4x + 5y + 2x
Здесь слагаемые 4x и 2x подобны, а 5y - нет. Значит, привести можно только 4x и 2x, а 5y оставить как есть.
Раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых
Еще один случай активного применения подобных слагаемых - это раскрытие скобок по формулам сокращенного умножения. Например:
(2x + 3)(3x + 5)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
6x^2 + 9x + 15x + 5 = 6x^2 + 24x + 5
Как видите, использование свойств подобных слагаемых позволяет значительно упростить полученный результат.
Применение подобных слагаемых
Решение текстовых задач
Подобные слагаемые часто применяются при решении текстовых задач на движение, работу, проценты. Рассмотрим пример задачи:
Из пункта А в пункт Б выехало 2 автобуса со скоростью 60 км/ч. Через 30 минут из того же пункта А выехал 1 автобус со скоростью 90 км/ч. Найдите расстояние между автобусами через 1 час после выезда из пункта А.
Решение:
Пусть t - время движения в часах.
Первые автобусы проедут: S1 = 60t км
Второй автобус проедет: S2 = 90(t - 0,5) км
Расстояние между ними: S1 - S2. Подставим t = 1:
S1 - S2 = 60 - 90(1 - 0,5) = 60 - 45 = 15 км
Ответ: 15 км.
Здесь применение свойств подобных слагаемых (60t и 90t) позволило получить простое выражение для расстояния.
Подобные слагаемые в геометрии
Рассмотрим применение подобных слагаемых в геометрических задачах. Например:
Треугольник ABC - равнобедренный, AC = BC. Найдите угол ABC, если угол ACB равен 35°.
Решение:
Пусть угол ABC = x. Тогда:
x + 35 + (180 - x - 35) = 180
x + 35 + 145 - x = 180
Приводим подобные слагаемые:
x + 180 = 180
x = 0
Ответ: угол ABC равен 0°.
Как видим, приведение подобных слагаемых помогает решать и геометрические задачи.
Подобные слагаемые на ЕГЭ и ОГЭ
Задания с приведением подобных слагаемых часто встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Рассмотрим пример задания ЕГЭ:
Приведите подобные слагаемые в выражении:
3a - 2b + 5a + b
Решение:
3a - 2b + 5a + b = (3a + 5a) - 2b + b = 8a - b
Ответ: 8a - b
Как видим, умение быстро и правильно приводить подобные слагаемые крайне полезно для сдачи экзаменов.
Полезные приемы
В завершение давайте рассмотрим несколько полезных приемов, которые упростят работу с подобными слагаемыми:
- Приводить сразу, без лишних промежуточных записей;
- Сложить коэффициенты в уме или на калькуляторе;
- Проверить ответ подстановкой в исходное выражение;
- Отмечать подобные слагаемые разным цветом.
Применяя эти приемы, вы научитесь быстро и безошибочно приводить подобные слагаемые!
