Что такое "понятие множества" и почему это важно? Давайте разберемся вместе. Множество - одно из ключевых понятий современной математики, лежащее в основе практически всех ее разделов.
История возникновения понятия множества
Основателем теории множеств считается немецкий математик Георг Кантор (1845-1918). Он ввел основные понятия этой теории, такие как элемент множества, подмножество, пересечение и объединение множеств. Однако концепция бесконечных множеств Кантора привела к парадоксам.
Наиболее известный из них - парадокс Рассела : рассмотрим множество M всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Возникает вопрос: является ли само множество M элементом множества M? Если да, то по определению множества M оно не может принадлежать самому себе. Если нет, то опять по определению множества M, оно должно входить в себя. Это логическое противоречие.
Чтобы избавить теорию множеств от подобных парадоксов, ее аксиоматизировали независимо друг от друга Бертран Рассел и Эрнст Цермело в 1908 году. С тех пор различают наивную теорию множеств Кантора и аксиоматическую теорию.
Определение и основные свойства множеств
Множество определяется как совокупность некоторых объектов, называемых элементами этого множества и обладающих общим свойством. Элементы множества могут быть любыми математическими объектами: числами, геометрическими фигурами, функциями, другими множествами и т.д.
Существует два основных способа задания множеств:
- Перечисление всех элементов.
- Указание характеристического свойства, которому удовлетворяют элементы данного множества.
Например, множество гласных букв русского алфавита можно задать, явно перечислив его элементы: {А, Е, Е, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}. А множество натуральных чисел удобнее определить через свойство элементов: множество чисел 1, 2, 3 и т.д.
Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество содержит ограниченное, заранее известное число элементов. Бесконечное множество содержит бесконечно много элементов, их точное количество заранее неизвестно. Пример конечного множества: месяцы в году. Пример бесконечного: натуральные числа.
Существует также пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Его стандартное обозначение: ∅.
Для проверки принадлежности элемента a множеству A используют запись: a ∈ A. А запись a ∉ A означает, что элемент a не принадлежит множеству A.
Если множество B состоит из таких элементов множества A, которые обладают неким дополнительным свойством, то говорят, что B является подмножеством множества A, и пишут B ⊆ A. Например, множество четных чисел является подмножеством множества натуральных чисел.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент первого множества принадлежит второму и наоборот. Для обозначения равенства множеств используют знак равенства: A = B.
Операции над множествами
В теории множеств определен ряд операций, с помощью которых по одним или нескольким исходным множествам можно получить новые множества.
- Объединение множеств A и B — это множество, состоящее из всех элементов множеств A и B. Обозначается A ∪ B.
- Пересечение множеств A и B — это множество элементов, принадлежащих одновременно множествам A и B. Обозначается A ∩ B.
- Разность множеств A и B — это множество элементов множества A, не принадлежащих множеству B. Обозначается A \ B.
- Дополнение множества A — это множество всех объектов, не входящих в A. Его обозначают как Ā.
- Симметрическая разность множеств A и B — это множество, состоящее из элементов, которые входят в A или B, но не входят одновременно в оба множества. Обозначается: A Δ B.
Например, пусть A - множество четных натуральных чисел, а B - множество чисел, кратных 3. Тогда: A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12...} A ∩ B = {6, 12...} A \ B = {2, 4, 8...} Ā = {1, 3, 5, 7...}
Понятие множества в определении других математических понятий
Понятие множества широко используется при введении других важнейших математических понятий, таких как отношение между объектами, функция, вероятность события и многих других. Рассмотрим несколько примеров.
- Числовые множества: натуральные (N), целые (Z), рациональные (Q), действительные (R) числа и др.
- Геометрические фигуры задаются как множества точек на плоскости или в пространстве.
- Множество решений уравнения, неравенства или их системы.
Без использования apparatus теории множеств уже невозможно обойтись при логически строгом построении большинства математических теорий и доказательстве утверждений.
Роль понятия множества в школьном курсе математики
Хотя теория множеств редко изучается в школе как самостоятельный предмет, представления о множествах, элементах, способах задания множеств, видах множеств формируются у учащихся на протяжении всего курса математики.
Уже в начальной школе дети сталкиваются с конечными множествами (множество цифр, множество геометрических фигур на рисунке и т.д.). Эти представления постепенно расширяются и углубляются.
Методика изучения теории множеств в школьном курсе математики
Несмотря на фундаментальную роль понятия множества в математике, в большинстве школьных программ теории множеств как отдельной темы нет. Элементы этой теории вводятся постепенно, на протяжении всего курса.
В начальной школе дети знакомятся с простейшими конечными множествами, учатся перечислять их элементы, объединять множества и выделять общее. В средних классах вводятся записи типа a ∈ A, определения подмножества, пересечения множеств. Понятие бесконечного множества, как правило, появляется при изучении множества натуральных чисел.
Формирование начальных представлений о множествах в начальной школе
В начальной школе при обучении математике целесообразно формировать у учащихся следующие начальные представления, связанные с понятием множества:
- Множество – это совокупность каких-либо математических объектов.
- Элемент множества – объект, входящий в данное множество.
- Конечное множество – множество, содержащее ограниченное число элементов.
- Перечисление элементов конечного множества.
- Выделение общего свойства у всех элементов данного множества.
Методика изучения теории множеств в среднем и старшем звене школы
В 5-6 классах вводятся символические обозначения типа a ∈ A, определения подмножества, операции объединения и пересечения множеств. В старших классах изучаются различные числовые множества (натуральные, целые, рациональные числа и т.д.), их свойства и взаимосвязи.
