Неевклидова геометрия Римана: варианты решения

Неевклидова геометрия Римана - это удивительный мир, где прямые пересекаются только в одной точке. Путешествие в это пространство постоянной положительной кривизны позволит нам увидеть знакомую Вселенную с совершенно необычного ракурса.

Основные понятия геометрии Римана

Геометрия Римана базируется на своем собственном наборе аксиом, отличающихся от аксиом Евклида. Основными объектами геометрии Римана являются точки, прямые и плоскости. Для них определены такие базовые понятия, как принадлежность (например, точки прямой), порядок (порядок точек на прямой) и конгруэнтность фигур.

Что касается принадлежности и порядка, геометрия Римана полностью совпадает с проективной геометрией. Например, здесь выполняются такие утверждения:

• Через любые две точки проходит одна прямая
• Любые две плоскости пересекаются по одной прямой
• Точки на прямой упорядочены циклически

В то же время геометрия Римана заметно отличается от сферической геометрии. Главное отличие в том, что любые две «прямые» в пространстве Римана имеют не две точки пересечения, как на сфере, а только одну.

Кривизна пространства Римана

Если в геометрии Евклида пространство имеет нулевую гауссову кривизну, в геометрии Лобачевского - отрицательную, то в геометрии Римана реализуется постоянная положительная кривизна.

Численно кривизна пространства Римана выражается формулой K = 1/R2, где R - радиус сферы, локально изометричной данному пространству. Чем меньше величина K, тем ближе свойства фигур в геометрии Римана к свойствам объектов в евклидовой геометрии.

История создания геометрии Римана

Идея о возможности неевклидовых геометрий впервые была выдвинута Н.И. Лобачевским. Другим важным вкладом стали работы К.Ф. Гаусса, в которых были введены понятия внутренней геометрии поверхности и квадратичной формы для описания линейного элемента.

Первое сообщение о геометрии Римана было сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» в 1854 году.

В этой лекции Риман ввел понятие абстрактного многомерного пространства и обобщил представления Гаусса о внутренней геометрии на случай произвольного числа измерений.

После смерти Римана его идеи получили дальнейшее развитие в работах других математиков. Был создан необходимый математический аппарат, найден ряд приложений геометрии Римана, в том числе в механике.

Окончательное признание геометрия Римана получила после того, как она была положена Альбертом Эйнштейном в основу общей теории относительности. Это вызвало целую волну интереса к римановой геометрии и привело к бурному прогрессу в этой области.

Формально риманово пространство определяется с помощью понятий метрики и линейного элемента. Рассмотрим это подробнее.

Метрика и линейный элемент

Метрика риманова пространства l задается квадратичной формой:

ds2 = ∑gijdxidxj

где коэффициенты g_ij = g_ji являются функциями координат точек пространства.

Дифференциал длины линии в данной точке пространства называют линейным элементом и обозначают буквой ds. Из определения метрики следует, что

ds = √∑gijdxidxj

Касательное евклидово пространство

В окрестности каждой точки риманова пространства R с точностью до бесконечно малых высшего порядка выполняются соотношения евклидовой геометрии. Это позволяет сопоставить каждой точке касательное евклидово пространство E, на которое отображается окрестность данной точки.

Пример: сфера как риманово пространство

Простейший пример риманова пространства - это поверхность сферы. Действительно, на достаточно малом участке сферы с большой точностью выполняются соотношения планиметрии, которые локально эквивалентны законам евклидовой геометрии.

Однако в целом сфера является искривленным двумерным пространством. Таким образом, с точки зрения внутренней геометрии сфера представляет собой простейшее двумерное риманово пространство.

Геодезические линии

Важным понятием геометрии Римана являются геодезические линии. Это такие линии, которые локально являются кратчайшими среди всех кривых, соединяющих две близкие точки. Геодезические играют роль прямых в искривленном пространстве Римана.

Через любую точку риманова пространства в произвольном направлении проходит единственная геодезическая. Аналитически геодезические определяются как экстремали функционала длины кривой.

Пример: геодезические на сфере

В качестве примера можно рассмотреть геодезические линии на уже упоминавшейся сфере как на простейшем двумерном римановом многообразии. В данном случае роль геодезических будут играть большие круги сферы. Действительно, это кратчайшие линии между точками на сфере. Однако в отличие от обычных прямых, два больших круга на сфере всегда пересекаются в двух точках.

Углы и объемы

Понятия углов между кривыми и объемов областей также обобщаются на случай риманова пространства. Угол между двумя кривыми, выходящими из одной точки, определяется как угол между касательными к этим кривым.

Что касается объемов, то объем области G в n-мерном римановом пространстве вычисляется по формуле:

V = ∫_G√g dx¹...dxⁿ

Рассмотрим некоторые примеры геометрических фигур в двумерном римановом пространстве и сравним их с евклидовой плоскостью.

Треугольник

В отличие от плоскости Евклида, сумма углов треугольника в геометрии Римана всегда больше 180 градусов. Чем больше площадь треугольника, тем ближе эта сумма к 270 градусам.

Окружность

Площадь круга радиуса R выражается формулой

S = 2πR(1 - e^-KR2)

где K - положительная кривизна пространства Римана. При стремлении K к нулю получаем известную евклидову формулу.

Геометрия Римана для чайников

Для начинающих изучение геометрии Римана может показаться сложным. Давайте разберем некоторые моменты поподробнее, чтобы разобраться с азами.

Вопросы от чайников

Какие вопросы возникают при первом знакомстве с этой темой? Давайте разберем типичные вопросы новичков.

1. Как связана геометрия Римана с окружающим физическим пространством?
2. В чем состоят основные отличия от привычной евклидовой геометрии?
3. Где в природе реализуется геометрия Римана?

Ответы на эти и другие вопросы чайников мы рассмотрим далее.

Давайте последовательно разберем типичные вопросы новичков и ответы на них.

Связь с физическим пространством

Геометрия Римана, как и другие неевклидовы геометрии, изначально рассматривалась как чисто абстрактное математическое построение. Однако в дальнейшем выяснилось, что она может адекватно описывать свойства реального физического пространства.

Например, искривленное пространство-время в общей теории относительности имеет структуру риманова многообразия. Также геометрия Римана применима для описания распространения волн в неоднородных оптических средах.

Отличия от евклидовой геометрии

Главные отличия состоят в том, что в геометрии Римана пространство искривлено и имеет ненулевую положительную кривизну. Это приводит к различиям в формулах для площадей, объемов, суммы углов треугольников по сравнению с привычной плоской геометрией Евклида.

Где реализуется геометрия Римана

Помимо уже упомянутых примеров связи с общей теорией относительности, можно привести модель псевдосферы в виде трактрисы. Локально псевдосфера имеет геометрию Римана, поэтому трактриса - наглядный физический аналог двумерного пространства постоянной положительной кривизны.

Простейшие задачи геометрии Римана

Рассмотрим несколько простых задач, чтобы закрепить основные понятия геометрии Римана.

1. Вычислить площадь круга радиуса 5 см на поверхности сферы радиуса 1 м.
2. Найти угол между меридианом и параллелью на глобусе в точке с широтой 30 градусов.

Решения разберем на примерах с пояснениями.