Как выводить число из-под корня? Как выводить большие числа из под корня?

Многие испытывают трудности при извлечении корней, особенно из больших чисел. В этой статье вы узнаете пошаговый алгоритм, который позволит легко справляться с такими задачами.

Основные понятия

Прежде чем перейти к самому алгоритму, давайте разберемся в терминологии.

• Корень числа - это такое число, которое в некоторой степени дает исходное число. Например, квадратный корень из числа 16 равен 4, так как 4² = 16.
• Степень - это запись вида aⁿ, которая обозначает, что число а нужно возвести в степень n, т.е. умножить само на себя n раз. Например, 2³ = 2 x 2 x 2 = 8.
• Извлечение корня - нахождение такого числа, которое в определенной степени даст исходное число. Мы будем рассматривать извлечение квадратных корней, когда степень равна 2.

Далее речь пойдет об извлечении корней из больших чисел, то есть чисел, содержащих 5 и более знаков. С такими числами стандартные калькуляторы часто не справляются, поэтому приходится использовать специальные алгоритмы.

Алгоритм извлечения корня

Рассмотрим алгоритм извлечения квадратного корня. Для начала необходимо разбить число на разряды (десятки, сотни и т.д.), объединив цифры попарно, начиная справа налево. Например, число 123456 разбивается так:

Такая группировка называется гранями . По количеству граней можно предположить, сколько цифр будет в искомом корне. В нашем случае граней 3, значит корень будет трехзначным.

Далее находим цифры корня последовательно, начиная с самого старшего (левого) разряда. Каждая найденная цифра возводится в квадрат и вычитается из текущего остатка числа. Процесс повторяется до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. Рассмотрим это на конкретном примере.

Нужно извлечь корень из числа 4096. Разбиваем его на грани: 40 и 96. Получилось 2 грани, значит корень будет двузначным. Начинаем с левой грани 40. Ближайшее меньшее число, квадрат которого не превосходит 40 - это 6 (6² = 36). Записываем цифру 6 в ответ. Вычитаем 36 из 40, получаем остаток 4.

Теперь ищем следующую цифру корня. Умножаем первую цифру 6 на 2, получаем 12. Приписываем к 12 разные цифры, перемножаем с дописанной и сравниваем с остатком 4. Подошла цифра 4 (12 x 4 = 48). Записываем полный ответ: 64. Проверяем: 64² = 4096.

Итак, квадратный корень из 4096 равен 64. Алгоритм позволяет находить корень из любых больших чисел пошагово без использования калькулятора!

Особенности при дробных числах

Рассмотрим применение алгоритма для извлечения корня из дробных чисел. Например, возьмем число 30,25.

Сначала разбиваем его на грани, разделяя целую и дробную части. Получаем две грани: 30 и 25. Значит, корень будет состоять из двух цифр - одна до запятой, вторая после.

Извлекаем корень из первой грани 30. Это число 5. Записываем 5 после знака равенства. В остатке получаем 5 (30 минус 25).

Теперь ищем цифру после запятой так же, как и раньше. Умножаем найденный корень 5 на 2, приписываем цифры и перемножаем с приписанной. Подошло число 55 (10 x 5 = 50 + 5 = 55).

Окончательный ответ: корень из 30,25 равен 5,5. Таким образом, алгоритм позволяет выводить число корня и из дробных чисел!

Геометрический смысл

Рассмотрим геометрическую интерпретацию алгоритма. Например, извлечь корень из числа 4096 - это найти длину стороны квадрата площадью 4096.

Сторона квадрата = 4096^0,5

Мы находим эту сторону постепенно:

1. Сторона состоит из нескольких отрезков (разрядов)
2. Находим первый отрезок, возводим в квадрат и вычитаем из площади
3. Находим второй отрезок, возводим в квадрат и вычитаем из оставшейся площади
4. Повторяем, пока площадь не станет равна нулю

Таким образом, алгоритм позволяет последовательно выводить число квадратного корня из любых сколь угодно больших чисел!

Формула обратного возведения в степень

Для понимания алгоритма извлечения корня полезно рассмотреть формулу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Она показывает, что квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел и удвоенного их произведения. Геометрически это выглядит как разбиение большого квадрата на несколько фигур, площади которых затем складываются.

Благодаря этому можно выводить число корня путем постепенного нахождения составляющих суммы. Сначала находится цифра старшего разряда, потом следующего и т.д. до полного исчерпания числа.

Полезные приемы

Рассмотрим несколько полезных приемов, которые упростят вывод числа корня на практике:

• Округлять промежуточные результаты для упрощения вычислений
• Использовать мнемонические правила (например, при возведении десятков в квадрат получаются сотни)
• Применять данный алгоритм совместно с калькулятором для проверки

С постоянной тренировкой навык вывода корня значительно улучшается. Поэтому не стоит огорчаться, если поначалу процесс кажется сложным.