Почему важно знать производные гиперболических функций и где они применяются? Эти вопросы мы рассмотрим в данной статье.
1. Основные определения и формулы
Для начала давайте определим, что такое производная функции. Производная показывает скорость изменения функции в данной точке. Она характеризует наклон касательной к графику функции. Формально производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Теперь запишем основные формулы для вычисления производных гиперболических функций:
- Производная гиперболического синуса:
sh'x = chx - Производная гиперболического косинуса:
ch'x = shx - Производная гиперболического тангенса:
th'x = (1 + th^2x) / ch^2x - Производная гиперболического котангенса:
cth'x = -(1 + cth^2x) / sh^2x
Для закрепления приведем таблицу основных производных гиперболических функций:
| Функция | Производная |
| sh x | ch x |
| ch x | sh x |
| th x | (1 + th2x) / ch2x |
| cth x | -(1 + cth2x) / sh2x |
2. Вывод формул производных гиперболических функций
Производные гиперболических функций можно вывести, воспользовавшись определением производной и основными тождествами для гиперболических функций. Рассмотрим это подробно.
Начнем с гиперболического синуса. Пусть функция задана как y = sh x. Тогда:
sh'x = limΔx→0 (sh(x + Δx) - sh x) / Δx =
= limΔx→0 (sh x ch Δx + ch x sh Δx - sh x) / Δx =
= sh x · limΔx→0 (ch Δx - 1) / Δx + ch x · limΔx→0 sh Δx / Δx =
= sh x · 0 + ch x · 1 = ch x
Аналогично можно вывести формулу производной для гиперболического косинуса ch'x = shx.
Для вывода производной гиперболического тангенса воспользуемся формулой th x = sh x / ch x и правилом дифференцирования частного:
th'x = (ch x · sh'x - sh x · ch'x) / ch2x =
= (ch x · ch x - sh x · sh x) / ch2x =
= (1 + th2x) / ch2x
По аналогии можно получить выражение производной гиперболического котангенса.
Теперь разберем пару примеров вычисления производных гиперболических функций. Найдем, к примеру, производную sh'(2x):
sh'(2x) = ch(2x) = ch2x - sh2x
А также вычислим производную функции 3·cth(x + 5):
(3·cth(x + 5))' = 3·(cth(x + 5))' =
=-3·(1 + cth2(x + 5)) / sh2(x + 5)
Обратите внимание, что при нахождении производной обратной гиперболической функции используются те же приемы, что и для обычных обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков гиперболических функций также вычисляются аналогично.
Итак, мы разобрали основные формулы для вычисления производных гиперболических функций и привели примеры их применения. Далее рассмотрим, где можно использовать эти производные на практике.
3. Применение производных гиперболических функций
Рассмотрим основные практические задачи, где используются производные гиперболических функций:
- Нахождение критических точек функции
- Исследование функции на экстремум
- Построение графика функции
- Решение гиперболических уравнений и неравенств
- Вычисление неопределенных интегралов
- Решение дифференциальных уравнений
Давайте разберем некоторые из этих задач подробнее.
Нахождение критических точек функции
Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки функции, содержащей гиперболические функции, нужно вычислить ее производную и приравнять к нулю:
Например, пусть функция задана уравнением f(x) = 3·sh(2x) + 5·ch(x). Тогда:
f'(x) = 3·ch(2x)·2 + 5·sh(x) = 0
3·ch(2x) = -5·sh(x)
Решив это уравнение, можно найти критические точки исходной функции.
Исследование функции на экстремум
Чтобы определить, является ли критическая точка точкой максимума, минимума или перегиба, нужно исследовать знаки производной функции до и после этой точки.
Производим исследование функции f(x) из предыдущего примера. Видим, что производная равна нулю при ch(2x) = 5/3·sh(x). До этой точки производная положительна, после - отрицательна. Значит, эта точка - точка максимума.
Построение графика функции
Зная критические точки функции и характер ее монотонности на разных участках, можно построить приближенный эскиз графика этой функции. Также по производной определяется выпуклость и вогнутость графика.
Например, на основе проведенного выше исследования график функции f(x) = 3·sh(2x) + 5·ch(x) будет иметь точку максимума в точке, где выполняется уравнение ch(2x) = 5/3·sh(x). Слева от этой точки график возрастает, справа - убывает.
