Тензор деформации: теория, виды, формулы и примеры решения

Деформация является важнейшим параметром, характеризующим изменение формы и размеров тела под действием нагрузок. Для количественного описания деформации в точке используется тензор деформации . В данной статье рассматриваются его определение, свойства, различные виды и применение на практике.

Определение тензора деформации

Тензор деформации определяется через вектор перемещения частиц из начального положения в деформированное. Рассмотрим элементарный объем тела до и после деформации.

Элементарный объем до и после деформации.

Компоненты тензора деформации определяются следующим соотношением:

e_ij = (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i)/2

где u - вектор перемещения точек, x - радиус-вектор точки.

Важным свойством тензора деформации является его симметричность: e_ij = e_ji.

Компоненты тензора деформаций

Компоненты тензора деформации имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим это на примере плоской деформации:

• e_xx - относительное удлинение в направлении оси x;
• e_yy - относительное удлинение в направлении оси y;
• e_xy = e_yx - сдвиговая деформация в плоскости xOy.

Компоненты тензора деформации при плоской деформации.

Таким образом, компоненты тензора характеризуют относительные линейные и сдвиговые деформации элементарного объема.

Линейный тензор малых деформаций

При малых деформациях используют линеаризованный тензор:

ε_ij = (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i)/2

Он также симметричен: ε_ij = ε_ji. Его след равен относительному объемному расширению (сжатию) тела.

Таким образом, линеаризованный тензор удобен для инженерных расчетов небольших деформаций, но не годится для описания конечных деформаций с большими сдвигами.

Нелинейные тензоры деформаций

Для описания конечных деформаций применяют нелинейные тензоры:

1. Тензор Грина — Лагранжа
2. Тензор Коши — Грина (правый тензор деформации)

Тензор Грина — Лагранжа

Тензор Грина-Лагранжа записывается через радиусы-векторы частиц в начальном (недеформированном) и конечном (деформированном) состояниях:

E_ij = (1/2)(F_ikF_kj - δ_ij)

где F_ik - тензор деформаций Коши-Грина. Он инвариантен относительно поворота системы координат, то есть учитывает конечные вращения частиц.

Тензор Коши — Грина

Тензор Коши-Грина является "правым" тензором деформации. Он записывается так:

e_ij = (F_ikF_jk - δ_ij)/2

В отличие от тензора Грина-Лагранжа, он инвариантен в текущей системе координат деформированного тела.

Тензор скоростей деформации

При нестационарных процессах деформирования используют тензор скоростей деформации . Его компоненты связаны со скоростью изменения компонент тензора деформации:

e‑̇_ij = de_ij/dt

Тензор скоростей деформации позволяет исследовать кинетику деформационных процессов во времени при моделировании.

Инварианты тензоров деформаций

Инварианты тензоров деформаций не зависят от выбора системы координат. Они позволяют получить обобщенные скалярные характеристики деформационного состояния. Например:

• I1 = tr(e) - среднее значение главных относительных деформаций;
• J = det(F) - относительное изменение объема.

Инварианты удобно использовать при формулировании критериев текучести и разрушения материалов.

Обобщенная формула для расчета деформаций

Для практических инженерных расчетов деформаций чаще всего используют упрощенную формула :

ε = Δl/l

где ε - относительная деформация, Δl - абсолютное удлинение, l - начальная длина.

Это соотношение справедливо для растяжения-сжатия стержней в пределе малых деформаций без изменения поперечного сечения.

Применение тензоров деформации в расчетах

Тензоры деформаций широко применяются при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций, сооружений и деталей машин. Рассмотрим некоторые примеры.

Расчеты прочности материалов и конструкций

С помощью тензоров деформаций можно оценить предельные состояния, когда возникают пластические деформации и разрушение. Для этого используют критерии текучести и прочности, включающие инварианты тензоров.

Моделирование технологических процессов обработки материалов давлением

Тензоры деформации позволяют количественно описать состояние металла при прокатке, волочении, штамповке. Это дает возможность оптимизировать режимы и конструкцию инструмента.

Анализ остаточных напряжений

Остаточные напряжения возникают после снятия внешней нагрузки в результате пластической деформации. Их расчет важен для прогнозирования растрескивания изделий.

Расчеты элементов конструкций методом конечных элементов

В расчетах МКЭ тензоры деформаций позволяют задать условия нагружения и граничных условий для отдельных конечных элементов.

Пример расчета деформаций простого бруса

Для закрепления теоретического материала рассмотрим пример расчета деформаций бруса при растяжении. Пусть имеется стальной брус длиной l = 200 мм и площадью поперечного сечения S = 100 мм2. К его торцам приложена растягивающая сила F = 10 кН (рис. 3).

Рис. 3. Схема деформирования бруса

Решение

В данном случае возникает одноосное напряженное состояние. Компоненты тензора деформаций для оси X будут:

• e_xx - относительное удлинение вдоль оси Х;
• e_yy = e_zz = 0 - поперечные деформации отсутствуют;
• e_xy = e_xz = 0 - нет сдвиговых деформаций.

Деформацию bxx найдем по формуле:

e_xx = Δl/l

где Δl - абсолютное удлинение бруса, l = 200 мм - первоначальная длина. Подставляя численные значения, получаем...

Анализ результатов

Подставляя численные значения, получаем:

e_xx = Δl/200 мм

Абсолютное удлинение бруса Δl связано с приложенной силой F и модулем Юнга E формулой:

Δl = Fl/ES

где S - площадь поперечного сечения бруса.

Подставив данные, имеем:

Δl = 10000 H · 200 мм / (2·10⁵ МПа · 100 мм²) = 0,1 мм

Окончательно получаем искомую деформацию:

e_xx = 0,1 мм / 200 мм = 0,0005 = 0,05%

Анализ результатов

Итак, в результате расчета мы нашли, что относительное удлинение бруса составляет 0,05%. Это соответствует малым упругим деформациям стали, поэтому использование инженерной формулы в данном случае оправдано.

Таким образом, на примере растяжения бруса был продемонстрирован расчет компонент тензора деформаций для простого нагружения. Полученная величина деформации интерпретирована как малая, что объясняется выбранными исходными данными.

Рекомендации по выбору тензора деформаций для инженерных расчетов

При проведении практических расчетов напряженно-деформированного состояния конструкций инженеру приходится отвечать на вопрос: какой тензор деформации лучше выбрать в том или ином случае?

Малые деформации

Для описания малых деформаций (менее 5%) достаточно использовать упрощенную инженерную формулу или линейный тензор.

Большие пластические деформации без поворота

В случае значительных, но одноосных деформаций предпочтительнее применять нелинейные тензоры Грина-Лагранжа или Коши-Грина.

Сложное нагружение с конечными сдвигами

При расчете деталей машин, подверженных интенсивному кручению или изгибу, следует использовать объективные нелинейные тензоры с учетом существенных поворотов сечений.

Таким образом, выбор конкретного типа тензора зависит от характера нагрузки и ожидаемого уровня деформаций в конструкции.