Квадратные уравнения - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. Умение находить корни таких уравнений пригодится для решения многих практических задач. Давайте разберемся, что происходит в случае, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю и почему тогда его корни совпадают.
Основные понятия
Напомним определения основных элементов квадратного уравнения:
- Старший коэффициент при квадрате переменной обозначается буквой а
- Коэффициент при самой переменной называется линейным и обозначается буквой b
- Свободный член без переменной обозначается буквой с
Общий вид квадратного уравнения:
ax2 + bx + c = 0
Для нахождения корней такого уравнения используется понятие дискриминанта, обозначаемого буквой D. Он вычисляется по формуле:
D = b2 - 4ac
В зависимости от знака дискриминанта, различают три основных случая:
- D > 0 - два различных действительных корня
- D = 0 - два совпадающих действительных корня
- D < 0 - нет действительных корней
Посмотрим, как это проявляется в явном виде при вычислении корней.
Формулы для нахождения корней через дискриминант
Корни квадратного уравнения обозначаются х1 и х2. Они находятся по формулам:
x1 = (-b + √D)/2a
x2 = (-b - √D)/2a
Рассмотрим значение этих формул при разных D:
-
D > 0:
- √D - некоторое положительное число x1 ≠ x2 , так как √D прибавляется в одном случае и вычитается в другом Получаем два различных действительных корня
-
D = 0:
- √0 = 0 x1 = x2, так как прибавление и вычитание 0 не меняет значения Получаем два совпадающих действительных корня
-
D < 0:
- √отрицательного числа - невозможно корни не являются действительными
Итак, мы видим, что дискриминант равен нулю формула дает совпадающие корни. А почему это происходит - давайте разберемся дальше.
Примеры решения квадратных уравнений
Рассмотрим конкретные примеры с разными случаями дискриминанта, чтобы наглядно увидеть совпадение корней.
Пусть дано уравнение:
2x2 + 5x - 7 = 0
| a | = 2 |
| b | = 5 |
| c | = -7 |
Вычисляем дискриминант:
D = b2 - 4ac =
= 52 - 4·2·(-7) = = 25 - 56 = = 31
Так как D > 0, по формулам находим два корня:
x1 = (-b + √D)/2a = (-5 + √31)/4 = -3,5 /> x2 = (-b - √D)/2a = (-5 - √31)/4 = 1
Получили два разных действительных корня x1 ≠ x2, так как √31 то прибавляли, то вычитали в формулах.
Теперь возьмем уравнение, в котором D = 0:
x2 - 4x + 4 = 0
Выписываем коэффициенты:
| a | = 1 |
| b | = -4 |
| c | = 4 |
Дискриминант равен:
D = b2 - 4ac = = (-4)2 - 4·1·4 = = 16 - 16 = 0
Из формул находим:
x1 = x2 = -b/2a = 4/2 = 2
Корни совпали, потому что √0 = 0, то есть прибавление и вычитание нуля к (-4)/2 не изменило значения.
Графическая интерпретация
Дискриминант равен нулю - это особый случай с точки зрения графика квадратичной функции. Давайте посмотрим, как выглядит график в зависимости от знака дискриминанта.
-
D > 0 - график пересекает ось OX в двух точках, соответствующих двум разным корням уравнения:
Copy code -
D < 0 - график не пересекает ось OX, так как корней нет:
Copy code -
D = 0 - график касается оси в одной точке, соответствующей единственному корню:
Copy code
Видим, что равенство дискриминанта нулю на графике соответствует касанию оси в одной точке. Это и есть графическое отображение совпадения корней квадратного уравнения.
Решение текстовых задач
Часто квадратные уравнения возникают при решении прикладных задач. Делать, если в процессе решения мы получим дискриминант, равный нулю?
Рассмотрим такую задачу:
Найти сторону квадрата, если его площадь равна 100 кв.м.
Обозначим сторону через х. Тогда площадь квадрата равна:
S = x2
Приравняем это выражение к 100 и получим квадратное уравнение:
x2 = 100
Выписываем коэффициенты:
| a | = 1 |
| b | = 0 |
| c | = 100 |
Дискриминант равен:
D = b2 - 4ac = 02 - 4·1·100 = 0
Геометрическая интерпретация в задачах
Как видим, при решении геометрических задач на вычисление параметров фигур часто возникает ситуация с дискриминант равен нулю. Это связано с квадратичной зависимостью между элементами фигур.
Аналогии из других областей знаний
Совпадение решений при определенных условиях - распространенное явление. Можно провести аналогии с движением объектов, химическими реакциями, биологическими процессами.
Например, корабль плывет по течению и против ветра одинаковой силы. Результирующая скорость будет равна нулю, то есть совпадающей.
Применение квадратных уравнений в физике
Квадратные зависимости часто встречаются в физических формулах. Рассмотрим примеры.
Пусть тело брошено под углом α к горизонту. Траектория полета описывается уравнением:
y = x*tan(α) - g*x^2/2V^2
Где y - высота, x - дальность, g - ускорение свободного падения, V - начальная скорость.
Мы видим здесь квадратичную зависимость высоты от дальности. При определенном соотношении параметров высота перестает зависеть от дальности - происходит совпадение решений уравнения.
Квадратные уравнения в экономике
В экономических расчетах тоже встречаются квадратичные модели. Например, зависимость прибыли фирмы от объема производства часто описывается параболой.
Пусть затраты компании состоят из постоянных издержек A и переменных издержек bx. Тогда прибыль компании составит:
П = Выручка - Затраты = px - A - bx^2
Где p - цена за единицу продукции, x - объем производства. Мы опять видим квадратичную зависимость.
Квадратичные уравнения в социологии
И в социальных науках встречаются модели с квадратичными членами. Например, закон Энгеля гласит, что с ростом доходов люди тратят меньшую долю денег на питание. Эту зависимость можно описать уравнением:
d = a + b/x^2
где d - доля расходов на питание, x - доход, a и b - некоторые коэффициенты. Здесь мы также видим обратную квадратичную зависимость.
Программная реализация
Решение квадратных уравнений реализуется во многих математических пакетах и языках программирования. Рассмотрим пример на Python:
import math a = 2 b = 5 c = -7 D = b**2 - 4*a*c, если D > 0: x1 = (-b + math.sqrt(D)) / (2*a) x2 = (-b - math.sqrt(D)) / (2*a) elif D == 0: x = -b / (2*a) else: print("Нет корней") print(x1, x2)
Здесь используется тот же подход через вычисление дискриминанта и применение разных формул для корней в зависимости от его значения.
