Натуральные числа сопровождают нас повсюду – при покупках в магазине, планировании бюджета, измерении расстояний. Но что такое числа на самом деле и откуда они берутся? Давайте разберемся!
История возникновения натуральных чисел
Потребность в подсчете предметов возникла у людей с древних времен. Например, в торговле нужно было считать товар, в строительстве - стройматериалы, в быту - продукты и домашний скот. Сначала числа использовались только на практике, но постепенно появилась и теория - наука о числах, которую мы сегодня называем математикой.
Первые упоминания о натуральных числах встречаются в Вавилоне около 1800 года до нашей эры. Вавилоняне использовали клинопись для обозначения чисел при помощи специальных знаков. Позже, в Древнем Египте появилась десятичная система счисления, похожая на современную. Египтяне обозначали числа иероглифами. Например, на каменной стеле 1500 года до н.э., найденной в Карнаке, число 276 записано как сумма 2 сотен, 7 десятков и 6 единиц.
Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человека.
Эту фразу произнес немецкий математик Леопольд Кронекер в 19 веке. Она отражает распространенное мнение, что натуральные числа возникли естественным путем из потребностей человека, а остальная, более сложная математика является плодом человеческого разума.
Определение и свойства натуральных чисел
Итак, натуральные числа – это числа, которые используются при счете и подсчете предметов. Это последовательность:
- один
- два
- три
- ...
То есть натуральными числами являются 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. Их особенность в том, что натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.
С точки зрения теории множеств, натуральные числа вводятся исходя из понятия множества. Существует соответствие:
- Числу 0 соответствует пустое множество
- Числу 1 соответствует множество {0}
- Числу 2 соответствует множество {0, 1}
- И так далее...
То есть каждое следующее натуральное число соответствует множеству, содержащему все предыдущие числа плюс один новый элемент.
Запись натуральных чисел
Для записи очень больших натуральных чисел используется десятичная система счисления. В ней любое натуральное число записывается с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эта система называется позиционной, поскольку значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Рассмотрим пример числа 5555. Оно состоит из:
- 5 тысяч (первая цифра слева)
- 5 сотен (вторая цифра)
- 5 десятков (третья цифра)
- 5 единиц (четвертая цифра)
То есть одна и та же цифра 5 обозначает разные числа в зависимости от своего разряда в записи.
Чтобы записать очень большое число, его разбивают на разряды. Например, число 123 456 789 состоит из:
- 1 миллиарда
- 234 миллиона
- 567 тысяч
- 789 единиц
Каждая такая группа чисел называется классом. Класс миллиардов, класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
Арифметические действия с натуральными числами
C натуральными числами можно выполнять следующие арифметические действия:
- сложение
- вычитание
- умножение
- деление
Эти операции называются замкнутыми, поскольку применение любой из них к натуральным числам приводит опять к натуральному числу. Например:
| 7 + 3 = 10 |
| 12 - 5 = 7 |
| 4 x 5 = 20 |
| 24 / 4 = 6 |
Кроме того, имеется еще две операции - возведение в степень и извлечение корня. Они не являются замкнутыми, поскольку не для всех чисел определены. Но для натуральных степеней и корней замкнуты:
| 24 = 16 |
| √16 = 4 |
Таким образом, натуральные числа и арифметические действия с ними составляют фундамент всей элементарной математики. Эти базовые знания применяются везде: от школьных задач до научных вычислений.
Например, очень важно владеть навыками сложения, вычитания, умножения и деления при подсчете денег в магазине или банке. А возведение в степень необходимо, чтобы найти площадь квадрата со стороной 5 см: S = a2 = 52 = 25 см2.
Теоретико-множественные определения
Помимо практического применения, натуральные числа также изучаются в рамках строгой математической теории. Существует несколько подходов к их аксиоматическому определению.
Один из первых подходов был предложен немецким математиком Готлобом Фреге в 19 веке. Фреге определил натуральное число как класс всех множеств, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с некоторым заданным множеством. Однако такое определение приводило к логическим парадоксам, поэтому потребовалось внести уточнения.
Связь с системой Цермело-Френкеля
В настоящее время натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить с ним во взаимно-однозначное соответствие, называется имеющим это число элементов.
Такая аксиоматика натуральных чисел эквивалентна системе Цермело-Френкеля (ZFC) – одной из основ теории множеств, в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием.
Доказуемые и недоказуемые теоремы
Среди утверждений, которые могут быть строго доказаны только в ZFC, но не следуют из аксиом Пеано, выделяют теорему Париса-Харрингтона, теорему Гудстейна и некоторые другие. Это означает, что натуральные числа в рамках своей аксиоматики не могут описать абсолютно все математические объекты.
Возможные применения в науке и технике
Несмотря на кажущуюся абстрактность, аксиоматика натурального ряда находит применение в самых разных областях математики и естествознания.
В частности, натуральный ряд используется в теории функций комплексного переменного, квантовой теории поля, теории струн и других передовых разделах физики. Ученые применяют здесь различные методы суммирования рядов, позволяющие получить для натурального ряда вполне конкретное значение.
Открытые вопросы и дискуссии
Несмотря на кажущуюся простоту, в математике до сих пор нет однозначного ответа на вопрос – является ли ноль натуральным числом?
Кроме того, остается открытым вопрос: какое число самое большое в натуральном ряду? Ведь он бесконечен! Или, быть может, стоит по-новому определить натуральный ряд?
Возможные применения в науке и технике
Как уже упоминалось, натуральные числа и операции над ними используются в самых разнообразных областях математики, естествознания и техники. Давайте рассмотрим некоторые примеры более подробно.
Применение в математическом анализе
В математическом анализе часто приходится иметь дело с бесконечными последовательностями и рядами чисел. Некоторые из таких рядов являются расходящимися, то есть сумма их членов стремится к бесконечности.
Однако даже для расходящихся рядов существуют методы, позволяющие получить вполне конечное число. Например, метод аналитического продолжения дзета-функции Римана или суммирование по Рамануджану. Эти методы применимы и к натуральному ряду, позволяя получить для него значение -1/12.
Использование в квантовой физике
Еще одно любопытное применение натуральных чисел и бесконечных рядов связано с квантовой физикой. Оказывается, суммирование определенных рядов позволяет теоретически рассчитать квантовые уровни энергии различных систем.
В частности, в теории струн значение -1/12 для натурального ряда соответствует энергии основного состояния квантовой струны. Такие вычисления необходимы для проверки следствий из теории и сравнения с экспериментальными данными.
