Внешний угол треугольника - важное понятие в геометрии, которое помогает решать многие задачи. Давайте разберемся, что это такое и как можно применить на практике.
Определение внешнего угла треугольника
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом этого треугольника. То есть если продолжить любую сторону треугольника, то получится угол, лежащий снаружи фигуры. Он и будет внешним по отношению к данному треугольнику.
Например, на рисунке изображен треугольник ABC. Угол 1 является внешним при вершине C, так как он смежный с внутренним углом АСБ этого треугольника:
Определение внешнего угла треугольника можно сформулировать так:
Внешний угол треугольника при данной вершине - это угол между продолжениями сторон треугольника, сходящихся в этой вершине.
Таким образом, внешний угол определен относительно конкретной вершины треугольника. У каждой вершины треугольника есть два внешних угла, так как можно продолжить любую из двух сторон.
Сколько внешних углов у треугольника?
Итого получается, что у любого треугольника всего 6 внешних углов - по два на каждую вершину. Эти два угла всегда равны как вертикальные.
Например, на рисунке при вершине A внешние углы 1 и 4 равны; при B равны углы 2 и 5; при С - углы 3 и 6.
Поэтому говоря о внешнем угле при конкретной вершине, не имеет значения, какую именно сторону мы продлили - результат будет одинаков.
Также отметим, что в отличие от внутренних углов, сумма внешних углов треугольника не равна 180°. Это важное отличие, которое проявляется в дальнейших свойствах.
Внешний угол и смежный внутренний угол
Внешний и внутренний углы, смежные при данной вершине треугольника, имеют важную особенность:
- Их сумма всегда равна 180°
Это следует из того, что смежные углы являются углами с вершиной на одной прямой, а их сумма, согласно свойству углов с вершиной на прямой, всегда 180°.
Например, на предыдущем рисунке внутренний угол АСВ и смежный внешний угол 1 в сумме дают 180°. То же самое для других пар углов. Это свойство используется при доказательстве основной теоремы о внешнем угле треугольника.
Итак, мы разобрали определение внешнего угла треугольника, научились его строить и подсчитать количество для заданного треугольника. Также отметили важную особенность внешнего и внутреннего смежного углов. Давайте перейдем к внешний угол треугольника определение и свойство - основному свойству внешних углов.
Основное свойство внешнего угла треугольника
Основное свойство внешнего угла треугольника гласит:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежных с ним.
Это ключевое свойство позволяет связать внешний и внутренние углы треугольника. Давайте разберемся в его смысле и приведем доказательство.
Доказательство свойства
Пусть дан треугольник ABC, ∠1 - произвольный его внешний угол при вершине C. Тогда согласно определению он смежен с внутренним углом АСВ этого треугольника.
Сумма внутренних углов треугольника известна и равна 180°. Поэтому:
- ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
Внешний и внутренний смежный углы в сумме дают 180°:
- ∠1 + ∠ACB = 180°
Приравниваем правые части этих равенств и получаем:
- ∠A + ∠B = ∠1
Что и требовалось доказать. Значит, внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника. Это важное дополнение, которое отличает свойство от простой суммы всех трех внутренних углов.
Следствия
Из основного свойства внешнего угла вытекает несколько важных следствий:
- Внешний угол треугольника всегда больше любого не смежного с ним внутреннего угла
- Если в треугольнике один из внутренних углов равен 90°, то любой внешний угол будет равен 90°
- В равностороннем треугольнике любой внешний угол равен 60°
Эти общие утверждения позволяют на практике быстро находить внешние углы для частных случаев треугольников. Рассмотрим конкретные примеры использования основного свойства далее.
