Знаете ли вы, что умение находить радиус вписанной окружности поможет решить множество геометрических задач гораздо быстрее? В этой статье мы покажем, как с помощью нескольких простых формул и теорем вы сможете значительно упростить вычисления радиуса вписанной окружности для треугольников, четырехугольников и других многоугольников.
Основные свойства вписанной окружности
Вписанная окружность – это окружность, которая лежит внутри многоугольника и касается всех его сторон. Главное ее свойство – соприкосновение со всеми сторонами фигуры, в которую она вписана.
Какие же фигуры могут иметь в себе вписанную окружность? Это:
- Треугольник
- Четырехугольник с равными суммами противоположных сторон
- Выпуклый многоугольник
А вот в эти фигуры вписать окружность нельзя:
- Трапеция
- Параллелограмм, не являющийся ромбом или квадратом
- Невыпуклый многоугольник
Существует теорема о том, что в любой треугольник и выпуклый многоугольник можно вписать одну и только одну окружность. При этом центр такой вписанной окружности всегда будет лежать в точке пересечения биссектрис этой фигуры.
Как найти радиус вписанной окружности
Итак, мы выяснили, какие фигуры могут иметь вписанную окружность и где находится ее центр. Теперь давайте разберем, как именно можно найти радиус этой самой вписанной окружности. В общем виде формула радиуса выглядит так:
Здесь S – площадь фигуры, а p – ее полупериметр, то есть полусумма всех сторон. Для треугольника с известными сторонами а, b и с формула упрощается:
Например, у нас есть равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 14. Тогда полупериметр будет равен (10+10+14)/2 = 17, а площадь по формуле Герона – 49. Подставляем значения в формулу радиуса:
Итак, теперь вы знаете, как найти радиус вписанной окружности в произвольный треугольник, зная его стороны. А в следующих разделах мы рассмотрим более конкретные формулы для разных типов треугольников и других фигур.
Формулы для разных треугольников
В предыдущем разделе мы рассмотрели общую формулу для нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник. Однако существуют более простые формулы для конкретных видов треугольников.
В равностороннем треугольнике, где все три стороны равны (обозначим одну сторону через а), радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
Равнобедренный треугольник
Если в треугольнике две стороны равны (назовем их b), а третью обозначим через а, то радиус вписанной окружности будет:
В прямоугольном треугольнике, используя теорему Пифагора, можно записать:
где а и b - катеты, с - гипотенуза.
Формулы радиуса через другие элементы
Помимо сторон треугольника, радиус вписанной окружности можно выразить через другие элементы - углы, высоты, медианы и т.д. Рассмотрим несколько полезных формул:
- Через сторону а и высоту h, проведенную к этой стороне:
- Через сторону основания b, боковую сторону а и угол при основании γ:
- Для прямоугольного треугольника через гипотенузу с и один из острых углов α:
Примеры использования формул
Давайте теперь разберем несколько примеров, где нужно найти радиус вписанной окружности в конкретных треугольниках:
- Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение:
По формуле для равнобедренного треугольника:
- В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см найти радиус вписанной окружности.
Решение:
Применяем формулу для прямоугольного треугольника:
Как видите, для конкретных случаев треугольников существуют довольно простые формулы радиуса вписанной окружности. А в следующем разделе мы перейдем к другим многоугольникам.
