Многочлены - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. Но многие ученики испытывают трудности при выполнении над ними арифметических операций, особенно при делении одного многочлена на другой.
Базовые понятия о многочленах
Чтобы разобраться, как выполнять деление многочленов, давайте сначала вспомним, что такое многочлен и какие операции над ними возможны.
Многочлен - это сумма одночленов, каждый из которых представляет собой произведение числовых коэффициентов, переменных и степеней этих переменных.
Например, выражение 5x2y - 2xy + 7 является многочленом, так как состоит из суммы одночленов 5x2y, -2xy и числа 7.
Как представить многочлен
Записывать многочлен можно разными способами, но принято представлять его в стандартной форме:
- Одночлены записываются в порядке убывания степеней
- Перед каждым одночленом пишется его коэффициент
- Одночлены разделяются знаками
+или-
То есть многочлен из нашего примера будет записан стандартно так: 5x2y - 2xy + 7.
Степень многочлена
Степень многочлена определяется по наибольшей степени одночленов, которые в него входят. Например, степень многочлена 5x2y - 2xy + 7 равна 2, поскольку наибольшая степень у одночлена 5x2y.
Возможно ли деление многочленов и при каких условиях
Как разделить многочлен на многочлен? В отличие от других арифметических операций, деление многочленов не всегда возможно. Рассмотрим, при каких условиях один многочлен можно разделить на другой.
Когда деление многочленов невозможно
Деление одного многочлена на другой невозможно, если степень делимого меньше степени делителя. Например, нельзя разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, так как первый многочлен имеет степень 3, а второй - степень 4.
Условия для делимости многочленов
Чтобы один многочлен делился на другой, должны выполняться два условия:
- Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя
- Деление должно давать в результате многочлен, а не дробь или число
Если эти два условия соблюдены, то деление возможно и даст в результате либо частное без остатка, либо частное и остаток.
Правильная и неправильная остаточная дробь
Помимо частного при делении многочленов может образовываться остаток. Чтобы деление считалось корректно выполненным, остаток должен иметь меньшую степень, чем делитель. Такая «остаточная дробь» называется правильной. В противном случае, когда степени остатка и делителя равны, остаточная дробь считается неправильной и деление с таким остатком будет неверным.
Пошаговый алгоритм деления многочленов столбиком
Теперь, когда мы уяснили основные моменты о многочленах и условиях их делимости, можно переходить к изучению самого процесса деления одного многочлена на другой. Рассмотрим пошагово, как разделить многочлен на многочлен столбиком.
Подготовка многочленов к делению
Перед тем как приступить к делению многочленов столбиком, их нужно подготовить:
- Записать многочлены в стандартной форме с соблюдением порядка убывания степеней
- Убедиться, что выполнены условия делимости: степень делимого больше или равна степени делителя
Благодаря этой подготовке процесс деления и его результат будут выглядеть более аккуратно и наглядно.
Нахождение первого члена частного
Чтобы найти первый член искомого частного от деления многочленов, нужно выполнить следующие действия:
- Разделить первый член делимого на первый член делителя.
- Результат записать под правым углом - это и будет первым членом частного.
Например, при делении многочлена 2x4 - x3 + 5x2 на многочлен x2 - x + 1 первым членом частного будет 2x2, так как 2x4 разделено на x2 дает 2x2.
Умножение члена частного на делитель
После того как найден первый член частного, нужно выполнить следующие действия:
- Умножить этот член частного на весь делитель
- Полученный результат записать под делимым так, чтобы подобные члены стояли столбиком
Продолжим наш пример с делением многочленов. Член частного 2x2 умножаем на делитель x2 - x + 1. В результате получаем многочлен 2x4 - 2x3 + 2x2, который и записываем под делимым:
Вычитание произведения из делимого
Следующий шаг алгоритма деления многочленов столбиком:
- Из делимого вычесть многочлен, записанный под ним (произведение члена частного и делителя)
- Результат вычитания записать под чертой вместо делимого
В нашем примере из делимого 2x4 - x3 + 5x2 - 8x + 1 вычитаем многочлен 2x4 - 2x3 + 2x2. В результате получаем новое делимое: x3 + 3x2 - 8x + 1.
Нахождение следующих членов частного и остатка
Далее повторяем те же действия:
- Находим очередной член частного, деля первый член нового делимого на первый член делителя
- Умножаем найденный член частного на весь делитель
- Вычитаем полученное произведение из текущего делимого
- Получаем новое делимое для следующей итерации
Этот цикл повторяется, пока очередной остаток не будет иметь меньшую степень, чем делитель. На этом деление многочленов столбиком завершается.
Завершение процесса деления
Процесс деления многочленов столбиком завершается, когда очередной полученный остаток имеет меньшую степень, чем степень делителя.
Например, в нашем примере третий остаток имел вид: -5x - 3. Его степень равна 1, что меньше степени делителя (2). Поэтому дальнейшее деление невозможно и процесс завершается.
Проверка правильности деления
Чтобы убедиться в правильности деления многочленов, нужно выполнить проверку с помощью подстановки полученного частного и остатка в исходное тождество:
Делимое = Делитель x Частное + Остаток
Если при подстановке это тождество выполняется, значит деление выполнено верно.
Примеры деления многочленов столбиком
Рассмотрим несколько примеров деления многочленов столбиком на практике:
- Простые примеры без остатка
- Примеры с получением остатка
- Деление многочленов с отрицательными коэффициентами
- Особые случаи деления многочленов
Проанализировав такие примеры, мы закрепим навык и поймем нюансы деления многочленов столбиком.
Простые примеры деления многочленов без остатка
Начнем с простых примеров деления многочленов столбиком, когда результатом является только частное без остатка:
Пример 1
Выполним деление многочлена x3 - 3x на делитель x - 1:
| x3 - 3x | = | (x - 1) |
| x2 | ||
| x3 - x2 | ||
| -2x |
В результате получилось частное x2 - 2x, то есть деление прошло без остатка.
Примеры деления многочленов с получением остатка
Рассмотрим случаи, когда при делении многочленов столбиком образуется остаток:
Пример 2
Выполним деление многочлена 2x3 - 2x2 - 5x + 4 на делитель x - 3:
| 2x3 - 2x2 - 5x + 4 | = | (x - 3) |
| 2x2 + 5x + 10 | ||
| 34 |
В результате получилось частное 2x2 + 5x + 10 и остаток 34.
