Эффективная масса электрона - фундаментальное понятие современной физики конденсированного состояния. Оно позволяет учесть квантовую природу электрона и взаимодействие с периодическим потенциалом кристаллической решетки. Благодаря этому появляется возможность применить хорошо разработанный математический аппарат классической механики для описания динамики электрона в твердых телах. Давайте разберемся в физическом смысле этого важного понятия и его практическом применении.
Происхождение термина "эффективная масса"
Впервые понятие эффективной массы было введено в 1938 году советскими физиками Ландау и Румером. Они показали, что движение электрона проводимости в металлах можно описать классическим уравнением Ньютона, если ввести некую эффективную массу m*, отличную от массы свободного электрона.
Несмотря на квантовую природу электрона и его взаимодействие с кристаллической решеткой, динамика электрона проводимости под действием внешнего электрического поля E описывается классическим уравнением:
m* a = -e E
Необходимость введения эффективной массы связана с тем, что в кристалле электрон описывается волновой функцией и его энергия зависит от квазиимпульса. При ускорении электрона его квазиимпульс меняется, а значит меняется и энергия. Чтобы связать изменение энергии с работой внешних сил, и вводится эффективная масса.
В отличие от массы свободного электрона m0, эффективная масса m* не является фундаментальной константой, а зависит от особенностей закона дисперсии в данном материале. Поэтому она может сильно отличаться для электронов проводимости в разных кристаллах.
Физический смысл и определение эффективной массы
Дадим более строгое определение эффективной массы, исходя из квантовомеханического описания электрона.
Пусть энергия электрона E зависит от его квазиимпульса p согласно некоторому закону дисперсии E(p). Тогда из соотношения неопределенностей имеем:
dE/dp = вгр
где вгр - групповая скорость электрона. При действии внешнего электрического поля E на электрон действует сила eE. Согласно второму закону Ньютона:
F = dp/dt = m* a
Отсюда получаем выражение для эффективной массы через производную энергии по квазиимпульсу:
1/m* = dE/dp = вгр
Из этого определения видно, что эффективная масса зависит от формы закона дисперсии E(p) в данном материале. В анизотропных кристаллах она представляет собой тензор второго ранга.
Возможны ситуации, когда эффективная масса принимает отрицательные значения. Это происходит, например, в точках экстремума закона дисперсии. Физический смысл отрицательной эффективной массы заключается в том, что часть энергии электрона расходуется на преодоление периодического потенциала решетки.
Для электронов в нижней части зоны проводимости, которые слабо связаны с решеткой, эффективная масса часто лишь незначительно отличается от массы свободного электрона. В то же время для дырок в верхней части валентной зоны она может сильно от нее отличаться.
Таким образом, эффективная масса - важнейший параметр, характеризующий динамику электрона в периодическом кристаллическом потенциале. Зная закон дисперсии E(p), можно рассчитать эффективную массу и использовать ее для моделирования различных свойств материалов.
Далее рассмотрим способы экспериментального определения эффективной массы и ее роль в теории твердого тела.
Методы измерения эффективной массы
Для экспериментального определения эффективной массы электронов и дырок в твердых телах используется несколько основных методов.
Циклотронный резонанс
Традиционно эффективная масса измеряется методом циклотронного резонанса. Суть метода заключается в следующем:
- Образец помещается в постоянное магнитное поле и облучается электромагнитным излучением с перестраиваемой частотой.
- При совпадении частоты излучения с циклотронной частотой электронов наблюдается резонансное поглощение.
- По резонансной частоте рассчитывается циклотронная масса по формуле: m* = eB/ω.
Этот метод дает точные значения эффективной массы, однако требует сложного оборудования и низких температур.
Фотоэмиссионные методы
В последние годы все чаще используются методы, основанные на фотоэмиссии электронов:
- Фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES) позволяет напрямую измерить закон дисперсии E(p) и вычислить эффективную массу.
- Эффект де Гааза—ван Альфена дает осцилляции физических величин, зависящие от эффективной массы.
Такие методы не требуют низких температур и дают дополнительную информацию о структуре энергетических зон.
Косвенные методы
Эффективную массу можно оценить косвенно, исходя из других измеренных величин:
- Из теплоемкости при низких температурах.
- Из подвижности носителей заряда.
- Из ширины запрещенной зоны в полупроводниках.
Хотя точность таких оценок невысока, они позволяют определить порядок значения эффективной массы, не прибегая к сложным экспериментам.
Таким образом, существует широкий набор методов для измерения одного из ключевых параметров электронной структуры твердых тел.
Роль эффективной массы в теории твердого тела
Понятие эффективной массы широко используется в теоретических моделях различных свойств твердых тел. Рассмотрим некоторые примеры.
- Электронный транспорт. В простейших моделях электропроводности подвижность носителей заряда обратно пропорциональна эффективной массе. Поэтому знание m* важно для описания электронного транспорта.
- Теплоемкость. Электронный вклад в теплоемкость при низких температурах пропорционален плотности состояний, которая, в свою очередь, зависит от эффективной массы.
- Оптические свойства. В полупроводниках эффективная масса влияет на вероятность оптических переходов через щель. Это позволяет теоретически оценивать силу осциллятора переходов.
Таким образом, знание эффективной массы необходимо для построения количественных теорий многих важных свойств твердых тел.
