В геометрии существует несколько видов углов, связанных с окружностью. Рассмотрим подробнее, как определить величину угла, опирающегося на дугу окружности.
Центральный и вписанный углы
Различают центральный и вписанный углы.
- Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности.
- Вписанный угол - угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
Важное свойство: величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Градусная мера дуги окружности
Чтобы определить величину угла, опирающегося на дугу окружности, нужно знать градусную меру этой дуги . Под градусной мерой дуги понимают:
Угловую величину центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Например, если центральный угол равен 90°, то градусная мера соответствующей ему дуги тоже будет 90°.
Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности
Итак, чтобы найти величину вписанного угла, опирающегося на некоторую дугу:
- Определяем градусную меру этой дуги (например, по условию задачи). Обозначим ее за α.
- Величина вписанного угла равна
α / 2
Например, если дуга составляет 120° (α = 120°), то вписанный угол будет равен 60°.
| Дуга | 120° |
| Вписанный угол | 120° / 2 = 60° |
Таким образом, зная градусную меру дуги, легко найти величину опирающегося на нее вписанного угла.
Центральный угол, опирающийся на дугу окружности
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Поэтому, если известна дуга (ее градусная мера), то величина центрального угла будет равна этой дуге:
Центральный угол = Дуга
Например, если дуга равна 80°, то и центральный угол будет 80°.
Также можно найти центральный угол через вписанный. Как мы помним:
- Вписанный угол = 0.5 * Центральный угол
- Центральный угол = 2 * Вписанный угол
Например, если вписанный угол 30°, то центральный угол будет в 2 раза больше: 60°.
Определение углов по точкам касания
Рассмотрим еще несколько случаев определения углов, связанных с окружностью.
Если известны точки касания касательной и окружности, можно найти угол между касательной и хордой. Свойство такого угла:
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между точками касания.
Например, если дуга между точками касания составляет 100°, то угол между касательной и хордой будет 100° / 2 = 50°.
Углы, образованные секущими
Секущая - это прямая, пересекающая окружность в двух точках. Угол между двумя секущими определяется по формуле:
Угол между секущими = (Дуга 1 - Дуга 2) / 2
Где Дуга 1 и Дуга 2 - дуги, на которые угол разбивает окружность.
Углы, образованные хордами и касательными
Аналогично можно найти углы, образованные:
- Двумя касательными
- Касательной и хордой
- Касательной и секущей
Формулы для этих углов можно найти в справочниках или вывести из теорем геометрии.
Примеры задач
Рассмотрим несколько примеров задач на вычисление углов, связанных с окружностью:
- Дана окружность с центром в точке O. Точки A и B - концы диаметра. Найдите угол при вершине O вписанного угла AOB. Решение: Угол AOB опирается на диаметр. Значит, это прямой угол и его величина 90°.
- Дана окружность с центром в точке O. Точки A и B делят окружность пополам. Касательная в точке A пересекает прямую OB в точке C. Найдите угол ACB. Решение: Угол ACB образован касательной и хордой. Дуга между точками A и B составляет 180°. По формуле: Угол ACB = 180° / 2 = 90°.
Построение углов, связанных с окружностью
Помимо нахождения углов, важно уметь их правильно построить. Рассмотрим основные этапы построения углов, опирающихся на окружность.
Центральный угол строится следующим образом:
- Находим центр O окружности
- Через точку O проводим два луча, являющиеся сторонами угла
- Указываем вершину угла в точке O
Таким образом получаем центральный угол с заданной величиной.
Построение вписанного угла
При построении вписанного угла:
- Находим на окружности произвольную точку A
- Через точку A проводим две секущие, являющиеся сторонами угла
- Указываем вершину угла в точке A
Получаем вписанный угол требуемой величины.
Построение угла между хордами
Для построения угла между двумя хордами:
- Проводим первую хорду AB
- Проводим вторую хорду CD так, чтобы она пересекла первую хорду (точка E)
- Сторонами угла являются отрезки AE и BE, а вершина в точке E
Свойства углов в четырехугольниках, вписанных в окружность
Рассмотрим некоторые свойства углов вписанных четырехугольников:
- Сумма противоположных углов равна 180°
- Каждый внешний угол равен противолежащему внутреннему углу
Эти свойства позволяют находить одни углы четырехугольника через другие. Например, зная один внутренний угол и все внешние, можно найти остальные два внутренних угла.
Применение углов в технических задачах
Углы, связанные с окружностью, находят широкое применение в технике при:
- Расчетах зубчатых передач
- Построении чертежей деталей со скруглениями
- Моделировании траекторий движения механизмов
Знание основных теорем и умение вычислять углы позволяет инженерам эффективно решать прикладные задачи в своей области.
Итак, мы рассмотрели разные способы нахождения углов, связанных с окружностью - центральных, вписанных, образованных хордами, касательными и секущими. Зная основные формулы и теоремы, можно решать множество геометрических задач на эту тему.
Заключение
В статье подробно рассмотрено понятие угла, опирающегося на дугу окружности. Приведены определения центрального и вписанного углов, формулы для нахождения их величин. Объясняется, как определить градусную меру дуги и как найти угол, опирающийся на эту дугу. Рассмотрены различные примеры и задачи. Даны рекомендации по построению углов, связанных с окружностью. Описано применение этих углов в технике.
