Парабола является одной из важнейших плоских кривых в математике. Она часто встречается при изучении движения объектов под действием силы тяжести, в оптике при исследовании свойств зеркал и линз, а также имеет много других применений. Одной из важных характеристик любой параболы являются координаты ее вершины.
Знание точного положения вершины параболы позволяет полностью описать ее форму и расположение на плоскости. Поэтому умение находить координаты вершины по уравнению параболы является важным и полезным для изучения ее свойств.
В этой статье мы рассмотрим основные способы нахождения координат вершины параболы с помощью простых формул. Также приведем примеры решения типовых задач.
Геометрический смысл вершины параболы
Вершина параболы - это точка, наиболее приближенная к директрисе параболы. Если через фокус F провести прямую перпендикулярную директрисе, то эта прямая пересечет параболу в точке V, которая и называется вершиной. Вершина делит этот перпендикуляр пополам. Расстояние от вершины до фокуса равно расстоянию от вершины до директрисы и равно параметру параболы p.
Геометрически, вершину параболы можно найти следующим образом: проводим через фокус перпендикуляр к директрисе, находим точку пересечения этого перпендикуляра с параболой - это и будет искомая вершина. Так как расстояние от любой точки параболы до фокуса равно ее расстоянию до директрисы, а перпендикуляр к директрисе делит это расстояние пополам, то вершина параболы будет ближайшей к директрисе точкой.
Из этого следует важный геометрический смысл координат вершины параболы: они показывают на сколько нужно сдвинуть параболу вдоль оси абсцисс и оси ординат, чтобы ее вершина совпала с началом координат. То есть геометрически координаты вершины задают сдвиг всей параболы.
Таким образом, геометрический смысл вершины параболы заключается в том, что она является точкой параболы наименее удаленной от директрисы и делит пополам расстояние между директрисой и фокусом. Координаты вершины показывают, насколько нужно сдвинуть параболу, чтобы вершина совпала с началом координат.
Основная формула для нахождения координат
Для нахождения координат вершины параболы используется формула, выводимая из канонического уравнения параболы вида:
y = ax^2 + bx + c
где a, b и c - коэффициенты при соответствующих членах.
Согласно этой формуле, координаты вершины параболы x0 и y0 находят следующим образом:
x0 = -b/2a
y0 = a(x0)^2 + b(x0) + c
Здесь вначале по первой формуле находится абсцисса вершины x0, подставляя в нее коэффициенты a и b из уравнения параболы.
Затем, подставив найденное x0 в исходное уравнение параболы, находится соответствующее значение ординаты - y0.
Таким образом, зная коэффициенты a, b и c уравнения параболы, по этим простым формулам можно найти координаты ее вершины. Это основной способ нахождения вершины параболы, заданной в каноническом виде.
Примеры задач на нахождение вершины
Чтобы лучше понять применение формулы для нахождения координат вершины параболы, рассмотрим несколько примеров.
Задача 1. Найти координаты вершины параболы, заданной уравнением:
y = 2x^2 + 4x + 1
Решение. Задано уравнение вида y = ax^2 + bx + c, где:
a = 2, b = 4, c = 1.
По формуле находим абсциссу вершины:
x0 = -b/2a = -4/4 = -2.
Подставляя x0 в исходное уравнение, получаем ординату вершины:
y0 = 2*(-2)^2 + 4*(-2) + 1 = -3.
Ответ: координаты вершины параболы (-2; -3).
Задача 2. Найти вершину параболы y = -3x^2 + 6x - 5.
Решение. Дано:
a = -3, b = 6, c = -5.
Вычисляем:
x0 = -b/2a = -6/(-6) = 1.
y0 = -3*(1)^2 + 6*1 - 5 = -2.
Ответ: координаты вершины (1; -2).
Как видно из примеров, формула позволяет достаточно просто находить вершину параболы, зная коэффициенты в ее уравнении.
Геометрическая интерпретация координат вершины
Рассмотрим более подробно, какой геометрический смысл имеют координаты точки - вершины параболы.
Допустим, у нас есть произвольная парабола с вершиной, не лежащей в начале координат. Тогда, зная координаты ее вершины (x0, y0), мы можем однозначно определить положение всей параболы на координатной плоскости.
А именно, абсцисса вершины x0 показывает, на какое расстояние нужно сдвинуть данную параболу вдоль оси Ox, чтобы ее вершина совпала с началом координат.
Аналогично, ордината вершины y0 показывает, на какое расстояние нужно сдвинуть эту параболу вдоль оси Oy, чтобы ее вершина оказалась в начале координат.
То есть зная координаты вершины (x0, y0), мы можем сделать параллельный перенос всей параболы на вектор (-x0, -y0). В результате вершина окажется в начале координат.
Это важный геометрический смысл координат вершины. Он позволяет определить положение всей параболы, если известны координаты одной ее точки - вершины. При этом форма самой параболы не меняется, меняется только положение всей параболы на координатной плоскости.
Таким образом, зная координаты вершины параболы, мы можем сдвинуть всю параболу так, чтобы вершина оказалась в начале координат. Это важный геометрический смысл координат вершины.
