Длина хорды: основные понятия

Бывают случаи в жизни, когда знания, полученные во время школьного обучения, очень полезны. Хотя во время учебы эти сведения казались скучными и ненужными. Например, как можно использовать информацию о том, как находится длина хорды? Можно предположить, что для специальностей, не связанных с точными науками, такие знания малопригодны. Однако можно привести много примеров (от конструирования новогоднего костюма до сложного устройства аэроплана), когда навыки решения задач по геометрии являются нелишними.

Понятие «хорда»

Данное слово означает «струна» в переводе с языка родины Гомера. Оно было введено математиками древнего периода.

Хордой обозначают в разделе элементарной геометрии часть прямой линии, которая объединяет две любые точки какой-либо кривой (окружности, параболы или эллипса). Другими словами, данный связующий геометрический элемент находится на прямой, пересекающей заданную кривую в нескольких точках. В случае окружности длина хорды заключена между двумя точками этой фигуры.

Часть плоскости, ограниченная прямой, пересекающей окружность, и ее дугой называют сегментом. Можно отметить, что с приближением к центру длина хорды увеличивается. Часть окружности, находящуюся между двумя точками пересечения данной прямой, называют дугой. Ее мерой измерения является центральный угол. Вершина данной геометрической фигуры находится в середине круга, а стороны упираются в точки пересечения хорды с окружностью.

Свойства и формулы

Длина хорды окружности может быть вычислена по следующим условным выражениям:

L =D×Sinβ или L=D×Sin(1/2α), где β – угол при вершине вписанного треугольника;

D – диаметр окружности;

α – центральный угол.

Можно выделить некоторые свойства данного отрезка, а также других фигур, связанных с ним. Эти моменты приведены в следующем списке:

• Любые хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют равные длины, при этом обратное утверждение также верно.
• Все углы, которые вписаны в окружность и опираются на общий отрезок, который объединяет две точки (при этом их вершины находятся в одной стороне от данного элемента), являются идентичными по величине.
• Самая большая хорда является диаметром.
• Сумма любых двух углов, если они опираются на данный отрезок, но при этом их вершины лежат в разных сторонах относительно него, составляет 180^о.
• Большая хорда - по сравнению с аналогичным, но меньшим элементом - лежит ближе к середине данной геометрической фигуры.
• Все углы, которые вписаны и опираются на диаметр, равны 90˚.

Другие вычисления

Чтобы найти длину дуги окружности, которая заключена между концами хорды, можно использовать формулу Гюйгенса. Для этого необходимо провести такие действия:

1. Обозначим искомую величину р, а хорда, ограничивающая данную часть окружности, будет иметь название АВ.
2. Найдем середину отрезка АВ и к ней поставим перпендикуляр. Можно отметить, что диаметр окружности, проведенный через центр хорды, образует с ней прямой угол. Верно и обратное утверждение. При этом точку, где диаметр, проходя через середину хорды, соприкасается с окружностью, обозначим М.
3. Тогда отрезки АМ и ВМ можно назвать соответственно, как l и L.
4. Длина дуги может быть вычислена по следующей формуле: р≈2l+1/3(2l-L). Можно отметить, что относительная погрешность данного выражения при возрастании угла увеличивается. Так, при 60˚ она составляет 0,5%, а для дуги, равной 45˚, эта величина уменьшается до 0,02%.

Длина хорды может использоваться в различных сферах. Например, при расчетах и конструировании фланцевых соединений, которые широко распространены в технике. Также можно увидеть вычисление этой величины в баллистике для определения расстояния полета пули и так далее.