Основное уравнение МКТ и измерение температур

Изучение процессов, протекающих в статистических системах, усложнено минимальным размером частиц и огромным их количеством. Рассмотреть отдельно каждую частицу практически невозможно, поэтому вводятся статистические величины: средняя скорость частиц, их концентрация, масса частицы. Формула, характеризующая состояние системы с учетом микроскопических параметров, называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов (МКТ).

Немного о средней скорости движения частиц

Определение скорости движения частиц впервые было проведено экспериментально. Известный из школьной программы опыт, проведенный Отто Штерном, позволил создать представление о скоростях частиц. В ходе эксперимента исследовалось движение атомов серебра во вращающихся цилиндрах: сначала в неподвижном состоянии установки, затем при вращении ее с некоторой угловой скоростью.

В итоге было установлено, что скорость молекул серебра превышает величину скорости звука и составляет 500 м/с. Факт достаточно интересен, поскольку такие скорости движения частиц в веществах человеку ощутить трудно.

Идеальный газ

Продолжить исследование представляется возможным только в системе, параметры которой определить непосредственными измерениями можно с использованием физических приборов. Скорость измеряют спидометром, но идея прикрепить спидометр к отдельной частице абсурдна. Непосредственно измерить можно только макроскопический параметр, связанный с движением частиц.

Рассмотрим давление газа. Давление на стенки сосуда создается ударами молекул находящегося в сосуде газа. Особенность газообразного состояния вещества - в достаточно больших расстояниях между частицами и малом их взаимодействии друг с другом. Это позволяет непосредственно измерить его давление.

Любая система взаимодействующих тел характеризуется потенциальной энергией и кинетической энергией движения. Реальный газ – система сложная. Изменчивость потенциальной энергии не поддается систематизации. Решить проблему можно, введя модель, несущую характерные свойства газа, отметающую сложность взаимодействия.

Идеальный газ – состояние вещества, при котором взаимодействие частиц пренебрежимо мало, потенциальная энергия взаимодействия стремится к нулю. Значимой можно считать только энергию движения, зависящую от скорости частиц.

Давление идеального газа

Выявить связь между давлением газа и скоростью движения его частиц позволяет основное уравнение МКТ идеального газа. Частица, движущаяся в сосуде, при соударении со стенкой передает ей импульс, величину которого можно определить на основании II закона Ньютона:

• F∆t = 2m₀v_x

Изменение импульса частицы при упругом ударе связано с изменением горизонтальной составляющей ее скорости. F – сила, действующая со стороны частицы на стенку в течение краткого времени t; m₀ – масса частицы.

С поверхностью площадью S в течение времени ∆t сталкиваются все частицы газа, движущиеся в направлении поверхности со скоростью v_x и расположенные в цилиндре объемом Sυ_xΔt. При концентрации частиц n ровно половина молекул движется к стенке, вторая половина – в обратном направлении.

Рассмотрев соударение всех частиц, можно записать закон Ньютона для силы, действующей на площадку:

• F∆t = nm₀v_x²S∆t

Поскольку давление газа определяется как отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади последней, можно записать:

• p = F : S = nm₀v_x²

Полученное соотношение как основное уравнение МКТ не может описать всю систему, т. к. рассмотрено движение только в одном направлении.

Распределение Максвелла

Непрекращающиеся частые соударения частиц газа со стенками и друг с другом приводят к установлению определенного статистического распределения частиц по скоростям (энергиям). Направления всех векторов скоростей оказываются равновероятными. Такое распределение получило название распределение Максвелла. В 1860 году эта закономерность была выведена Дж. Максвеллом на основании МКТ. Основными параметрами закона распределения называют скорости: вероятную, соответствующую максимальному значению кривой, и среднеквадратичную v_кв = √‹v²› - среднее квадрата скорости частиц.

Увеличение температуры газа соответствует возрастанию значения скоростей.

Исходя из того, что все скорости равноправны, а их модули имеют одинаковое значение, можно считать:

• ‹v²› = ‹v_x²› + ‹v_y²› + ‹v_z²›, откуда: ‹v_x²› = ‹v²› : 3

Основное уравнение МКТ с учетом усредненного значения давления газа имеет вид:

• p = nm₀‹v²› : 3.

Это соотношение уникально тем, что определяет связь между микроскопическими параметрами: скоростью, массой частицы, концентрацией частиц и давлением газа в целом.

Используя понятие кинетической энергии частиц, основное уравнение МКТ можно переписать иначе:

• p = 2nm₀‹v²› : 6 = 2n‹E_к› : 3

Давление газа пропорционально среднему значению кинетической энергии его частиц.

Температура

Интересно, что для неизменного количества газа в закрытом сосуде можно связать давление газа и среднее значение энергии движения частиц. Измерение давления при этом можно производить, измеряя энергию частиц.

Как поступить? Какую величину можно сопоставить с кинетической энергией? Такой величиной оказывается температура.

Температура – мера теплового состояния веществ. Для ее измерения применяется термометр, в основу действия которого положено тепловое расширение рабочего тела (спирт, ртуть) при нагревании. Шкала термометра создается экспериментально. Обычно на ней ставят метки, соответствующие положению рабочего тела при некотором физическом процессе, происходящем при неизменном тепловом состоянии (кипение воды, таяние льда). Различные термометры имеют разные шкалы. К примеру, шкала Цельсия, Фаренгейта.

Универсальная шкала температур

Более интересными с точки зрения независимости от свойств рабочего тела можно считать газовые термометры. Их шкала не зависит от рода используемого газа. В таком приборе можно гипотетически выделить температуру, при которой стремится к нулю давление газа. Вычисления показывают, что эта величина соответствует -273,15 ^оС. Температурная шкала (абсолютная шкала температур или шкала Кельвина) была введена в 1848 году. За основную точку этой шкалы приняли возможную температуру нулевого давления газа. Единичный отрезок шкалы равен единичному значению шкалы Цельсия. Записать основное уравнение МКТ с использованием температуры представляется более удобным при исследовании газовых процессов.

Связь давления и температуры

Опытным путем можно убедиться в пропорциональности давления газа его температуре. Одновременно выяснено, что давление прямо пропорционально концентрации частиц:

• P = nkT,

где Т – абсолютная температура, k-постоянная величина, равная 1.38•10^-23Дж/К.

Фундаментальную величину, имеющую неизменное значение для всех газов, называют постоянной Больцмана.

Сравнивая зависимость давления от температуры и основное уравнение МКТ газов, можно записать:

• ‹E_к› = 3kT : 2

Среднее значение кинетической энергии движения молекул газа пропорционально его температуре. То есть температура может служить мерой кинетической энергии движения частиц.