Выражение – это самый широкий математический термин. По существу, в этой науке из них состоит все, и все операции проводятся тоже над ними. Другой вопрос, что в зависимости от конкретного вида применяются совершенно разнообразные методы и приемы. Так, работа с тригонометрией, дробями или логарифмами – это три различных действия. Выражение, не имеющее смысла, может относится к одному из двух видов: числовому или алгебраическому. А вот что означает это понятие, как выглядит его пример и прочие моменты будут рассмотрены далее.
Числовые выражения
Если выражение состоит из чисел, скобок, плюсов-минусов и остальных знаков арифметических действий, его смело можно называть числовым. Что довольно логично: стоит только еще разок взглянуть на первый названный его компонент.
Числовым выражением может быть что угодно: главное, чтобы в нем не было букв. А под "чем угодно" в данном случае понимается все: от простой, стоящей одиноко, самой по себе, цифры, до огромного их перечня и знаков арифметических действий, требующих последующего вычисления конечного результата. Дробь – это тоже числовое выражение, если в ней нет всяких a, b, c, d и т.д., ведь тогда это совершенно другой вид, о котором будет рассказано чуть позже.
Условия для выражения, которое не имеет смысла
Когда задание начинается со слова "вычислить", можно говорить о преобразовании. Штука в том, что это действие не всегда целесообразно: в нем не то чтобы сильно нуждаются, если на передний план выходит выражение, не имеющее смысла. Примеры бесконечно удивительны: иногда, чтобы понять, что оно-то нас и настигло, приходится долго и нудно раскрывать скобки и считать-считать-считать...
Главное, что нужно запомнить: не имеет смысла то выражения, чей конечный результат сводится к запретному в математике действию. Если уж совсем по-честному, то тогда бессмысленным становится само преобразование, но для того, чтобы это выяснить, приходится его для начала выполнить. Такой вот парадокс!
Самое знаменитое, но от того не менее важное запретное математическое действие – это деление на ноль.
Потому вот, например, выражение, не имеющее смысла:
(17+11):(5+4-10+1).
Если при помощи нехитрых вычислений свести вторую скобку к одной цифре, то она и будет нулем.
По такому же принципу "почетное звание" дается и этому выражению:
(5-18):(19-4-20+5).
Алгебраические выражения
Это то же самое числовое выражение, если в него добавить запретные буквы. Тогда оно и становится полноценным алгебраическим. Оно также может быть всех размеров и форм. Алгебраическое выражение – понятие более широкое, включающее в себя предыдущее. Но был смысл начинать разговор не с него, а с числового, чтобы было понятнее и разобраться было легче. Ведь имеет ли смысл выражение алгебраическое – вопрос не то чтобы очень сложный, но имеющий больше уточнений.
Почему так?
Буквенное выражение, или выражение с переменными – это синонимы. Первый термин объяснить просто: ведь оно, в конце концов, содержит в себе буквы! Второй тоже не загадка века: вместо букв можно подставлять разные числа, вследствие чего значение выражения будет меняться. Нетрудно догадаться, что буквы в данном случае и есть переменные. По аналогии, числа – это постоянные.
И тут мы возвращаемся к основной тематике: что такое выражение, не имеющее смысла?
Примеры алгебраических выражений, не имеющих смысла
Условие для бессмысленности алгебраического выражения - аналогичное, как и для числового, с одним лишь только исключением, а если быть точнее, дополнением. При преобразовании и вычислении конечного результата приходится учитывать переменные, поэтому вопрос ставится не как "какое выражение не имеет смысла?", а "при каком значении переменной это выражение не будет иметь смысла?" и "есть ли такое значение переменной, при котором выражение потеряет смысл?"
Например, (18-3):(a+11-9).
Вышеприведенное выражение не имеет смысла при a равном -2.
А вот насчет (a+3):(12-4-8) можно смело сказать, что это выражение, не имеющее смысла при любых a.
Точно так же, какое b ни подставишь в выражение (b - 11):(12+1), оно по-прежнему будет иметь смысл.
Типовые задачи по теме "Выражение, не имеющее смысла"
7 класс изучает эту тему по математике в числе прочих, и задания по ней встречаются нередко как непосредственно после соответствующего занятия, так и в качестве вопроса "с подвохом" на модулях и экзаменах.
Вот почему стоит рассмотреть типовые задачи и методы их решения.
Пример 1.
Имеет ли смысл выражение:
(23+11):(43-17+24-11-39)?
Решение:
Необходимо произвести все вычисление в скобках и привести выражение к виду:
34:0
Ответ:
Конечный результат содержит деление на ноль, следовательно, выражение не имеет смысла.
Пример 2.
Какие выражения не имеют смысла?
1) (9+3)/(4+5+3-12);
2) 44/(12-19+7);
3) (6+45)/(12+55-73).
Решение:
Следует вычислить конечное значение для каждого из выражений.
Ответ: 1; 2.
Пример 3.
Найти область допустимых значений для следующих выражений:
1) (11-4)/(b+17);
2) 12/ (14-b+11).
Решение:
Область допустимых значений (ОДЗ) - это все те числа, при подставлении которых вместо переменных выражение будет иметь смысл.
То есть задание звучит как: найти значения, при которых не будет деления на ноль.
Ответ:
1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), или b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.
2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), или b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.
Пример 4.
При каких значениях нижеприведенное выражение не будет иметь смысла?
(y-3):(y+3)
Решение:
Вторая скобка равна нулю при игреке равном -3.
Ответ: y=-3
Пример 4.
Какие из выражений не имеют смысла только при x = -14?
1) 14:(х - 14);
2) (3+8х):(14+х);
3) (х/(14+х)):(7/8)).
Ответ:
2 и 3, так как в первом случае, если подставить вместо х = -14, то вторая скобка приравняется -28, а не нулю, как звучит в определении не имеющего смысла выражения.
Пример 5.
Придумайте и запишите выражение, не имеющее смысла.
Ответ:
18/(2-46+17-33+45+15).
Алгебраические выражения с двумя переменными
Несмотря на то что у всех выражений, которые не имеют смысла, одна суть, существуют разные уровни их сложности. Так, можно сказать, что числовые – это примеры простые, ведь они легче, чем алгебраические. Трудности для решения добавляет и количество переменных у последних. Но и они не должны сбивать с толку своим видом: главное – помнить общий принцип решения и применять его вне зависимости от того, похож ли пример на типовую задачу или имеет какие-то неизвестные дополнения.
Например, может возникнуть вопрос, как решить такое задание.
Найти и записать пару чисел, являющихся недопустимыми для выражения:
(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).
Варианты ответов:
1) 3 и 107;
2) 1 и -12;
3) 2 и 48;
4) -2 и 24;
5) -3 и 108.
Но на самом деле оно только выглядит страшным и громоздким, потому что на деле содержит в себе то, что уже давно известно: возведение чисел в квадрат и куб, некоторые арифметические действия, такие как деление, умножение, вычитание и сложения. Для удобства, между прочим, можно привести задачу к дробному виду.
Числитель у получившейся дроби не радует: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Это факт. Зато есть другой повод для счастья: его-то для решения задания трогать даже не понадобится! Согласно определению, рассмотренному ранее, делить нельзя на ноль, а что именно на него будет делиться, совершенно неважно. Потому оставляем это выражение в неизменном виде и подставляем пары чисел из данных вариантов в знаменатель. Уже третий пункт идеально вписывается, превращая небольшую скобочку в ноль. Но останавливаться на этом – плохая рекомендация, ведь подойти может еще что-нибудь. И вправду: пятый пункт тоже неплохо вписывается и подходит условию.
Записываем ответ: 3 и 5.
В заключение
Как видно, эта тема очень интересная и не особо сложная. Разобраться в ней не составит труда. Но все-таки отработать пару примеров никогда не помешает!
