Геометрическая прогрессия и ее свойства

Геометрическая прогрессия имеет важное значение в математике как науке, так и в прикладном значении, поскольку имеет чрезвычайно широкую сферу применения, даже в высшей математике, скажем, в теории рядов. Первые сведения о прогрессиях дошли до нас из Древнего Египта, в частности, в виде известной задачи из папируса Райнда о семи лицах, имеющих по семь кошек. Вариации этой задачи многократно повторялись в разные времена у других народов. Даже великий Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи (XIII в.), обратился к ней в своей «Книге об абаке».

Так что, геометрическая прогрессия имеет древнюю историю. Она представляет собой числовую последовательность с отличным от нуля первым членом, а каждый последующий, начиная со второго, определяется по рекуррентной формуле умножением предыдущего на постоянное, отличное от нуля число, которое называется знаменателем прогрессии (его обычно обозначают, используя букву q).
Очевидно, что его можно найти делением каждого последующего члена последовательности на предыдущий, то есть z 2 :z 1 =... = z n :z n-1 =... . Следовательно, для задания самой прогрессии (z n ) достаточно, чтобы было известно значение ее первого члена y 1 и знаменателя q.

Например, допустим z 1 = 7, q = - 4 (q < 0), тогда получается следующая геометрическая прогрессия 7, - 28, 112, - 448, ... . Как видим, полученная последовательность не монотонная.

Вспомним, что произвольная последовательность монотонная (возрастающая/убывающая), когда каждый из ее последующих членов больше/меньше, чем предыдущий. Например, последовательности 2, 5, 9, ... и -10, -100, -1000, ... – монотонные, причем вторая из них – это убывающая геометрическая прогрессия.

В случае, когда q = 1, в прогрессии все члены получаются равными и ее называют постоянной.

Для того чтобы последовательность была прогрессией этого типа, она должна удовлетворять следующему необходимому и достаточному условию, а именно: начиная со второго, каждый из ее членов должен являться средним геометрическим соседних с ним членов.

Это свойство позволяет при известных двух рядом стоящих находить произвольный член прогрессии.

n-ый член геометрической прогрессии легко найти по формуле: z n = z 1 * q ^ (n-1), зная первый член z 1 и знаменатель q.

Поскольку числовая последовательность имеет сумму, то несколько простых выкладок дадут нам формулу, позволяющую вычислить сумму первых членов прогрессии, а именно:

S n = - (z n *q – z 1) / (1 - q).

Заменив в формуле значение z n его выражением z 1* q ^ ( n-1) , получают вторую формулу суммы данной прогрессии: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q ).

Достоин внимания следующий интересный факт: глиняная табличка, найденной при раскопках Древнего Вавилона, которая относится к VI в. до нашей эры, замечательным образом содержит сумму 1 + 2 + 22 + ... + 29, равную 2 в десятой степени минус 1. Разгадка этого феномена пока не найдена.

Отметим еще одно из свойств геометрической прогрессии – постоянное произведение ее членов, отстоящих на равном расстоянии от концов последовательности.

Особую важность с научной точки зрения представляет такое понятие , как бесконечная геометрическая прогрессия и вычисление ее суммы. Если предположить, что (y n ) – геометрическая прогрессия, имеющая знаменатель q, удовлетворяющий условию |q|< 1, то ее суммой будет называться предел, к которому стремится известная уже нам сумма ее первых членов, при неограниченном возрастании n, то есть при его приближении к бесконечности.

Находят эту сумму в итоге при помощи формулы:

S n = y 1 / (1- q).

И, как показала практика, за видимой простотой этой прогрессии скрыт огромный прикладной потенциал. К примеру, если построить последовательность квадратов по следующему алгоритму, соединяя середины сторон предыдущего, то их площади образуют бесконечную геометрическую прогрессию, имеющую знаменатель 1/2. Такую же прогрессию образуют и площади треугольников, получающихся на каждом этапе построения, причем ее сумма равна площади первоначального квадрата.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Добавить смайл
  • :smile:
  • :wink:
  • :frowning:
  • :stuck_out_tongue_winking_eye:
  • :smirk:
  • :open_mouth:
  • :grinning:
  • :pensive:
  • :relaxed:
  • :heart:
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Следят за новыми комментариями — 4
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.