Векторное (или линейное) подпространство: определение и свойства

Линейное подпространство - одно из фундаментальных понятий линейной алгебры и функционального анализа. Давайте разберемся, что это такое, какие свойства имеет и где применяется.

1. Определение линейного подпространства

Формально, линейным подпространством векторного пространства V над полем F называется его подмножество U, которое само является векторным пространством относительно операций сложения векторов и умножения на скаляр из F.

Другими словами, чтобы некоторое подмножество векторов было линейным подпространством, оно должно удовлетворять двум условиям:

1. Для любых двух векторов x и y из этого подмножества, их сумма x + y тоже принадлежит этому подмножеству.
2. Для любого вектора x из этого подмножества и любого скаляра a из поля F, произведение ax тоже принадлежит этому подмножеству.

Например, множество всех многочленов степени не выше 2 является линейным подпространством в пространстве всех многочленов. А вот множество многочленов с четными степенями линейным подпространством не является, так как не замкнуто относительно сложения.

2. Тривиальные подпространства

Существуют два простейших примера линейных подпространств:

• Нулевое подпространство, состоящее только из нулевого вектора.
• Все исходное векторное пространство V.

Такие очевидные подпространства называются тривиальными или несобственными. У них есть важное свойство:

Любое тривиальное подпространство содержится в любом другом подпространстве исходного векторного пространства.

Это следует непосредственно из определений тривиального подпространства и операций над подпространствами.

3. Собственные подпространства

Любое подпространство, отличное от двух тривиальных, называется собственным или нетривиальным. У собственных подпространств есть важные особенности:

• Они не содержатся во всех других подпространствах.
• Их размерность меньше размерности всего пространства V.
• Они порождают интересную структуру векторного пространства V.

Примерами собственных подпространств могут служить плоскости и прямые в трехмерном евклидовом пространстве.

4. Линейная оболочка

Линейной оболочкой заданного подмножества векторов {v₁,...,v_n} называется множество всех их линейных комбинаций:

Lin{v₁,...,v_n} = {a₁v₁ + ... + a_nv_n | a_i ∈ F }

Важное свойство линейной оболочки состоит в том, что она всегда является линейным подпространством исходного векторного пространства V. Это следует из определения линейного подпространства.

Таким образом, линейная оболочка дает универсальный способ задания подпространств. Например, плоскость в R³ можно задать как линейную оболочку трех неколлинеарных векторов.

5. Операции над подпространствами

Рассмотрим основные операции над подпространствами и их свойства.

Суммой двух подпространств L и M называется множество векторов вида x + y, где x ∈ L, y ∈ M. Обозначается L + M. Из определений следует, что сумма подпространств также является подпространством.

Пересечением L ∩ M называется множество общих векторов подпространств L и M. Оно тоже является подпространством.

Доказана важная формула для размерностей:

dim(L + M) = dim L + dim M - dim(L ∩ M)

Она позволяет вычислять размерность суммы через размерности слагаемых и их пересечения.

Если пересечение тривиально, то имеет место прямая сумма подпространств L ⊕ M. Тогда каждый вектор пространства представим единственным образом в виде суммы векторов из L и M.

6. Базис и размерность подпространства

Понятия базиса и размерности тесно связаны с подпространствами.

Базисом подпространства U называется максимальная линейно независимая система векторов из U. Число векторов в базисе равно размерности подпространства dim U.

Базис подпространства U часто строят, дополняя базис пересечения U ∩ W до базиса всего пространства W. Это следует из формулы для размерностей.

Например, базис плоскости в R³ состоит из дополнения базиса {0} пересечения до базиса {e₁, e₂, e₃} всего пространства.

7. Критерий подпространства

Существует удобный критерий проверки, является ли данное подмножество векторов подпространством:

Подмножество U векторного пространства V является подпространством тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя векторами x и y из U оно содержит и их сумму x + y, а также вместе с вектором x содержит и вектор αx для любого скаляра α.

Этот критерий легко проверить и удобно использовать для решения задач.

8. Подпространства в евклидовом пространстве

Рассмотрим геометрическую интерпретацию подпространств в евклидовом пространстве R² и R³.

В R² примерами подпространств служат прямые, проходящие через начало координат. В R³ - плоскости и прямые, проходящие через начало координат. Есть изоморфизм между геометрическими и алгебраическими подпространствами.

Понимание подпространств в R³ помогает решать задачи на нахождение уравнений прямых и плоскостей в пространстве.

9. Подпространства матриц

Рассмотрим примеры подпространств в пространстве матриц.

Подпространствами являются множества симметричных, кососимметричных, верхних и нижних треугольных матриц. Для них можно найти базисы и размерности.

Понимание структуры подпространств матриц помогает решать системы линейных уравнений.

10. Бесконечномерные подпространства

В функциональном анализе рассматриваются бесконечномерные пространства функций. Их подпространствами могут быть пространства непрерывных, дифференцируемых, интегрируемых функций.

Для бесконечномерных подпространств определение базиса и размерности требует введения топологии и метрики на пространстве.

11. Пример: подпространства в R^3

Давайте более подробно разберем пример подпространств в трехмерном евклидовом пространстве R^3.

Пусть заданы три неколлинеарных вектора a, b и c. Тогда они образуют базис пространства R^3. Рассмотрим линейную оболочку векторов {a, b}. Это будет плоскость π, проходящая через начало координат и векторы a и b. Очевидно, что π является подпространством в R^3.

Аналогично, линейная оболочка вектора a образует прямую l, проходящую через начало координат и вектор a. Эта прямая тоже является подпространством в R^3.

Таким образом, мы получили примеры двумерного и одномерного подпространств в трехмерном евклидовом пространстве. Их математическая структура соответствует геометрическим объектам - плоскости и прямой.

12. Подпространства и линейная независимость

Есть важная связь между подпространствами и линейной независимостью векторов.

Если векторы a и b линейно независимы, то их линейная оболочка {a, b} образует двумерное подпространство в R^3.

Наоборот, если векторы принадлежат некоторому одномерному подпространству в R^3, то они линейно зависимы. Из определения одномерного подпространства следует, что в нем любые два ненулевых вектора коллинеарны.

13. Подпространства и системы уравнений

Подпространства тесно связаны с системами линейных уравнений.

Решения однородной системы a1x + a2y + a3z = 0 образуют подпространство в R^3. Это геометрически соответствует плоскости в пространстве.

Решение системы из одного уравнения a1x + a2y + a3z = 0 задает одномерное подпространство в R^3 - прямую в пространстве, проходящую через начало координат.

14. Инвариантные подпространства

Важным классом подпространств являются инвариантные подпространства линейных операторов.

Подпространство называется инвариантным для оператора A, если вместе с любым вектором x оно содержит и Ax. Например, подпространство собственных векторов оператора с одним собственным значением.

Анализ инвариантных подпространств позволяет глубже изучить свойства линейных операторов.

15. Нормированные подпространства

Рассмотрим подпространства в нормированных пространствах.

Пусть (X,||·||) - нормированное пространство. Его подпространство Y является нормированным относительно нормы, индуцированной из X. То есть для y ∈ Y полагают ||y|| = ||y||X.

Важный пример - подпространства в евклидовом пространстве R^n с обычной евклидовой нормой. Например, плоскости и прямые в R^3.

16. Замкнутые подпространства

Подпространство Y пространства X называется замкнутым, если оно замкнуто относительно метрики пространства X.

Например, подпространство непрерывных функций является замкнутым в пространстве всех функций на отрезке с метрикой равномерной сходимости.

Для замкнутых подпространств выполнен теорема о ближайшей точке и другие важные свойства.

17. Ортогональные подпространства

В евклидовых и унитарных пространствах важную роль играют ортогональные подпространства.

Подпространства называются ортогональными, если любые два вектора из разных подпространств ортогональны.

Прямая сумма ортогональных подпространств называется ортогональным разложением пространства. Пример - разложение R^3 на оси координат.

18. Дополнительные подпространства

Пусть M - подпространство пространства X. Тогда дополнительным к M называется подпространство N такое, что X = M ⊕ N.

Дополнительное подпространство позволяет разложить все пространство X в прямую сумму двух подпространств. Это важно для решения различных задач.

19. Подпространства и линейные отображения

Пусть дано линейное отображение T: X → Y между пространствами X и Y. Тогда образ и прообраз подпространства при T будут также подпространствами.

Это свойство часто используется при доказательствах и решении задач с линейными операторами.