Расчет статически неопределимой рамы методом сил: путь к надежному проектированию

Современное строительство немыслимо без точных инженерных расчетов. От их качества зависит безопасность людей. В статье речь пойдет о расчете статически неопределимых рам - одном из ключевых этапов проектирования надежных конструкций. Читатель узнает, как грамотно выполнить такой расчет, избежать ошибок и получить точный результат.

Основы расчета статически неопределимых рам

Статически неопределимые рамы - это стержневые конструкции, в которых количества уравнений равновесия недостаточно для нахождения всех неизвестных опорных реакций и внутренних усилий. Примерами таких рам могут служить многоэтажные каркасы зданий, балочные мосты, стрелы кранов.

В отличие от статически определимых рам, где по известным внешним нагрузкам можно рассчитать все неизвестные, для статически неопределимых рам одних уравнений равновесия недостаточно. Нехватка уравнений называется степенью статической неопределимости . Чем выше эта степень, тем больше дополнительных уравнений нужно для расчета.

Почему же инженеры используют статически неопределимые рамы, если их расчет сложнее? Все дело в повышенной надежности таких конструкций. За счет наличия лишних связей они лучше противостоят неравномерным деформациям и перераспределяют нагрузку при локальных разрушениях. Это особенно важно для ответственных сооружений.

Методы расчета статически неопределимых рам

Существует несколько методов, позволяющих найти неизвестные в таких системах:

• Метод сил
• Метод перемещений
• Метод Мора
• Метод конечных элементов

Наиболее распространен метод сил, так как он применим для любых статически неопределимых систем и относительно прост. Далее речь пойдет именно о нем.

Последовательность расчета методом сил

Расчет статически неопределимой рамы методом сил включает следующие этапы:

1. Определение степени статической неопределимости
2. Выбор основной системы
3. Запись канонических уравнений
4. Построение эпюр от единичных сил и внешней нагрузки
5. Расчет коэффициентов уравнений
6. Решение системы уравнений
7. Построение окончательных эпюр внутренних усилий
8. Выполнение проверок

Правильное выполнение каждого этапа критически важно для получения верного результата. Далее мы подробно разберем последовательность действий на конкретном примере. Рассмотрим последовательный расчет статически неопределимой рамы методом сил на конкретном примере.

Исходные данные

Пусть задана рама следующей конструкции:

Геометрические размеры рамы, жесткости стержней и приложенные нагрузки представлены на схеме. Требуется определить реакции опор, построить эпюры внутренних усилий и выполнить все необходимые проверки.

Определение степени статической неопределимости

По формуле находим степень статической неопределимости рамы:

где:

• n - степень статической неопределимости
• R - число неизвестных реакций опор
• Ш - число шарниров
• p - число простых балок (элементов)

Подставляя численные значения, получаем:
n = 6 - 2 - 3 = 1

Рама однократно статически неопределима - для ее расчета потребуется одно дополнительное уравнение.

Выбор основной системы

Основная система — это исходная расчетная схема рамы, в которой отброшено такое количество связей (опорных реакций), которое равно степени статической неопределимости. В нашем случае нужно отбросить одну опорную реакцию. Уберем реакцию в опоре B:

Теперь в основной системе не хватает одного уравнения для расчета. Это уравнение будет записано относительно неизвестной силы X, заменяющей убранную реакцию.

Запись канонического уравнения

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

δ₁₁X + ΔF₁ = 0

где δ₁₁ - коэффициент при неизвестной силе X, ΔF₁ - свободный член, соответствующий отброшенной реакции в опоре B.

Это уравнение и будет недостающим для решения основной системы. Коэффициент δ₁₁ и свободный член ΔF₁ определяются далее расчетным путем.

Построение эпюр

Для нахождения коэффициента δ₁₁ строим эпюру изгибающих моментов M₁ от действия единичной силы X=1. А для нахождения свободного члена ΔF₁ строим эпюру моментов M_F от действия заданной внешней нагрузки.

Эпюры строятся численно, с соблюдением масштаба и указанием всех числовых значений. Примеры эпюр M₁ и M_F для данной рамы приведены ниже:

Теперь по этим эпюрам можно рассчитать коэффициенты канонического уравнения.

Расчет коэффициентов уравнения

Коэффициент δ₁₁ находится как произведение эпюр M₁ и M_F:

δ₁₁ = ∫M₁ × M_Fdl

Произведение эпюр берется по длине каждого стержня и суммируется. В нашем случае получаем:

δ₁₁ = -420 × 10 = -4200 кН·м2

Свободный член ΔF₁ равен произведению эпюры M_F на саму себя:

ΔF₁ = ∫M_F × M_Fdl

ΔF₁ = 210 × 210 + 140 × 140 = 56400 кН·м2

Подставляя полученные значения в каноническое уравнение, окончательно получаем:

-4200·X + 56400 = 0

Решив это уравнение, найдем значение искомой реакции X.