Средние века известны как времена путешествий и географических открытий. Единственным способом реализации дальних путешествий было мореплавание, что всегда связано с выполнением больших объемов навигационных вычислений. Сейчас трудно представить процесс изнурительных расчетов при умножении-делении пяти-шестизначных чисел «вручную». Джон Непер, богослов по роду своей основной деятельности, занимаясь на досуге тригонометрическими расчетами, догадался заменить трудоемкую процедуру умножения простым сложением. Он сам говорил, что его целью было «освободиться от трудности и скуки вычислений, которые отпугивают многих от изучения математики». Усилия увенчались успехом – был создан математический аппарат, названный системой логарифмов.
Итак, что такое логарифм? Основой логарифмических вычислений является иное представление числа: вместо обычной позиционной системы, как мы привыкли, число A представляется в виде степенного выражения, где некое произвольное число N, называемое основанием степени, возводится в такую степень n, что в результате получается число A. Таким образом, n – это логарифм числа А по основанию N. Выбор основания логарифмов определяет название системы. Для простых вичислений применяется десятичная система логарифмов, а в науке и технике широко используется система натуральных логарифмов, где основанием служит иррациональное число е=2,718. Выражение, определяющее логарифм числа А, на языке математики записывается так:
n=log(N)A, где N – основание степени.
Десятичный и натуральный логарифмы имеют свое специфичное сокращенное написание – lgA и lnA, соответственно.
В системе расчетов, использующей вычисление логарифмов, основным элементом является преобразование числа к степенному виду с помощью таблицы логарифмов по некоторому основанию, например 10. Эта манипуляция не представляет никаких сложностей. Далее используется свойство степенных чисел, состоящее в том, что при умножении их степени складываются. Практически это означает, что умножение чисел с логарифмическим представлением, заменяется сложением их степеней. Поэтому, вопрос «что такое логарифм», если его продолжить до «а зачем он нам нужен», имеет простой ответ – чтоб упростить процедуру умножения-деления многоразрядных чисел – ведь сложение «в столбик» значительно проще умножения «в столбик». Кто не верит – пусть попробует сложить и умножить два восьмиразрядных числа.
Первые таблицы логарифмов (по основанию с натуральным числом) опубликовал в 1614 году Джон Непер, а полностью лишенный ошибок вариант, включающий и таблицы десятичных логарифмов, появился в 1857 году и известен как таблицы Бремикера. Использование логарифмов с основанием в виде иррационального числа обусловлено тем, что число е довольно просто получить через ряд Тейлора, имеющий широкое применение в интегральном и дифференциальном исчислении.
Суть данной вычислительной системы содержится в ответе на вопрос «что такое логарифм» и вытекает из основного логарифмического тождества: N(основание логарифма) возведенное в степень n, равную логарифму числа А( logA), равно этому числу A. При этом А>0, т.е. логарифм определяется только для положительных чисел, а основание логарифма всегда больше 0 и не равно 1. Исходя из сказанного, свойства натурального логарифма можно сформулировать следующим образом:
- Область определения натурального логарифма – вся числовая ось от 0 до бесконечности.
- ln x = 0 – следствие известного соотношения - любое число в нулевой степени равно 1.
- ln (X*Y) = ln X + lnY – наиболее важное для вычислительных манипуляций свойство - логарифм произведения двух чисел рамен сумме логарифмов каждого из них.
- ln (X/Y) = ln X – lnY – логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов этих чисел.
- ln (X)n =n*ln X .
- Натуральный логарифм представляет собой дифференцируемую, выпуклую вверх функцию, причем ln’ X = 1 / X
- log (N)A =K* ln A - логарифм по любому положительному и отличному от числа е основанию отличается от натурального только коэффициентом.
Сейчас каждый школьник знает, что такое логарифм, но благодаря прогрессу в области прикладной вычислительной техники проблемы вычислительных работ ушли в прошлое. Тем не менее, логарифмы, уже как математический инструмент, используются при решении уравнений с неизвестными в показателе степени, в выражениях для нахождения времени распада радиоактивных элементов и в других областях математики, физики, статистики.
