Как находить корень дискриминанта: метод решения квадратных уравнений

Дискриминант является важным понятием при решении квадратных уравнений. С его помощью можно быстро определить, сколько корней имеет уравнение, не прибегая к длительным вычислениям.

Что такое дискриминант

Дискриминант - это выражение вида D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0

Значение дискриминанта позволяет судить о количестве корней уравнения:

• Если D > 0, то корни различны и действительны
• Если D = 0, то корень один
• Если D < 0, то нет действительных корней

Как находить корень дискриминанта

Корни квадратного уравнения можно найти по формулам:

Где √D - корень квадратный из дискриминанта.

Для использования этих формул нужно:

1. Найти дискриминант D
2. Извлечь из него корень
3. Подставить полученное значение в формулы для корней

Рассмотрим на примере:

Решим уравнение x² - 6x + 8 = 0

1) Находим дискриминант: D = b² - 4ac = (-6)² - 4·1·8 = 36 - 32 = 4

2) Извлекаем корень: √D = √4 = 2

3) Подставляем в формулы для корней:

x₁ = (-b - √D)/2a = (-(-6) - 2)/2·1 = 3

x₂ = (-b + √D)/2a = (-(-6) + 2)/2·1 = 4

Ответ: 3; 4.

Второй способ нахождения корня дискриминанта

Еще один способ - использовать дискриминант для разложения квадратного трехчлена на множители:

Где x₁ и x₂ - корни уравнения.

Например, разложим многочлен x² - 2x - 3 = 0:

1. Находим дискриминант: D = b² - 4ac = (-2)² - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16
2. Извлекаем корень: √D = 4
3. Записываем разложение многочлена: (x - 3)(x + 1) = 0

Получаем ответ: корни уравнения: 3 и -1.

Дискриминант для неполных уравнений

Для неполных квадратных уравнений (с нулевыми коэффициентами) используют упрощенную формулу дискриминанта:

• D = b², если c = 0
• D = -4ac, если b = 0

Это следует из общей формулы дискриминанта путем подстановки нулевых коэффициентов.

Найти корни уравнения дискриминанта

Рассмотрим пример решения неполного квадратного уравнения:

2x² - 5 = 0

1) Здесь a = 2, b = 0, c = -5. Так как b = 0, используем D = -4ac.

D = -4·2·(-5) = 40

2) Находим корни:

x₁ = (-0 - √40)/4 = -√10

x₂ = (-0 + √40)/4 = √10

Ответ: -√10 ; √10

Как находить корень дискриминанта

Еще один полезный прием при решении квадратных уравнений - приведение их к виду с единичным коэффициентом при старшем члене. Такие уравнения называются приведенными:

x² + px + q = 0

Для них дискриминант вычисляется как:

D = p² - 4q

А корни находятся по формулам:

Рассмотрим пример:

3x² - 4x + 1 = 0

1. Делим все коэффициенты на 3, чтобы получить единичный коэффициент при x²:

x² - (4/3)x + (1/3) = 0

1. Вычисляем дискриминант: D = (-4/3)² - 4·(1/3) = 16/9 - 4/3 = 0
2. Находим корень: x = -4/6 = -2/3

Ответ: единственный корень -2/3.

Как найти корни, если дискриминант меньше нуля

Если получен отрицательный дискриминант (D < 0), значит в области действительных чисел корней нет. Но решение может существовать в комплексных числах.

Например, уравнение x² + 2x + 5 = 0:

1. Вычисляем дискриминант: D = (-2)² - 4·1·5 = 4 - 20 = -16
2. Так как D < 0, вещественных корней нет
3. Но уравнение имеет решение в комплексных числах с использованием мнимой единицы: x₁ = -1 - 2i x₂ = -1 + 2i

При отрицательном дискриминанте всегда можно найти комплексноконъюгированные корни, подставив √D = i√|D|.

Использование дискриминанта для решения прикладных задач

Рассмотрим применение дискриминанта при решении практических задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

Задача 1. Товар в магазине продается в упаковках по 12 штук. За день продали 52 упаковки этого товара. Сколько единиц товара было продано?

Решение:

1. Пусть x - количество проданных единиц товара
2. Тогда число упаковок - x/12
3. По условию число упаковок = 52
4. Записываем уравнение: x/12 = 52
5. Решаем полученное уравнение: x = 52*12 = 624

Ответ: Было продано 624 единицы товара.

Геометрические задачи, приводящие к квадратным уравнениям

Многие геометрические задачи с неизвестной переменной сводятся к решению квадратного уравнения. Например:

• Найти сторону квадрата по заданной площади
• Найти радиус окружности по заданной площади
• Найти катет по гипотенузе и углу в прямоугольном треугольнике (теорема косинусов)

Рассмотрим задачу: Катет прямоугольного треугольника на 5 см больше другого катета. Найти катеты, если гипотенуза равна 26 см.

Решение:

1. Пусть один катет = x см
2. Тогда второй катет = x + 5 см
3. По теореме Пифагора: x² + (x + 5)² = 26²
4. Решаем полученное уравнение: x = 15 см
5. Второй катет = 15 + 5 = 20 см

Ответ: один катет 15 см, другой 20 см.

Использование дискриминанта для решения неравенств

Дискриминант также может быть полезен при решении некоторых типов неравенств - например, квадратных:

x² + x > 10

Чтобы его решить, сначала решаем соответствующее уравнение:

x² + x - 10 = 0

1. Находим дискриминант: D = 1² - 4·1·(-10) = 1 + 40 = 41
2. Корни уравнения: -5; 2

Значит, исходное неравенство верно при x > 2.

Таким образом, дискриминант позволяет находить решение не только уравнений, но и неравенств.

Алгоритмы решения уравнений на основе дискриминанта

Используя дискриминант, можно составить универсальный алгоритм решения квадратных уравнений:

1. Записать уравнение в виде: ax² + bx + c = 0
2. Найти дискриминант: D = b² - 4ac
3. По знаку D определить количество корней
4. Вычислить корни по формулам

Для неполных и приведенных уравнений также можно составить похожие алгоритмы.

Такой подход позволяет быстро и единообразно решать квадратные уравнения всех основных типов.

Применение дискриминанта в программировании

Формулы с дискриминантом удобно использовать для решения квадратных уравнений в программах.

Например, на JavaScript можно написать функцию, которая принимает коэффициенты уравнения и возвращает его корни:

function solve Quadratic(a, b, c) { const D = b**2 - 4*a*c; if (D > 0) { return [ (-b + Math.sqrt(D)) / (2*a), (-b - Math.sqrt(D)) / (2*a) ]; } else if (D == 0) { return [-b / (2*a)]; } Еще {возврат []; } }

Этот подход широко используется на практике благодаря простоте и универсальности.