Локальные экстремумы функций - это точки ее графика, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение в некоторой окрестности этих точек. Экстремумы помогают аналузировать поведение функции, решать задачи оптимизации. Давайте разберемся в этом полезном инструменте на конкретных примерах.
Определение локального экстремума функции
Формально, точка называется точкой локального максимума функции f(x), если существует окрестность этой точки, в которой значение функции f(x) не превосходит значения в данной точке. Аналогично определяется локальный минимум - как точка, в окрестности которой функция принимает бОльшие значения.
Локальный экстремум - это "вершина" или "впадина" на графике функции в некоторой локальной области.
На рисунке показан пример функции с точками локального максимума (М) и минимума (m):
Важно отличать локальный экстремум от глобального. Глобальный максимум - наибольшее значение функции во всей области определения. Локальный же относится только к некоторому локальному участку.
Необходимое условие существования локального экстремума
Основанием для определения необходимых условий локального экстремума служит теорема Ферма. Для функции одной переменной она утверждает:
- Если в точке $x = x_0$ функция $f(x)$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$
Точка, в которой производная обращается в нуль, называется стационарной или критической точкой. Это и есть необходимое условие экстремума.
Для функции $f(x_1, \ldots, x_n)$ нескольких переменных аналогичное утверждение имеет вид:
- Если в точке $(x_{01}, \ldots, x_{0n})$ функция имеет локальный экстремум и дифференцируема, то все ее частные производные в этой точке равны нулю: $\dfrac{\partial f}{\partial x_1} = \ldots = \dfrac{\partial f}{\partial x_n} = 0$
Локальный экстремум функции нескольких переменных. Здесь тоже можно определить понятие стационарной (критической) точки.
Итак, чтобы функция имела экстремум, необходимо выполнение условий равенства нулю производных / частных производных. Это важнейший инструмент для нахождения точек локального экстремума на практике.
Достаточные условия локального экстремума
К сожалению, выполнение необходимого условия в виде обращения в нуль производных еще не гарантирует наличие экстремума в данной точке. Поэтому существуют дополнительные достаточные условия.
Для функции одной переменной формулируются первая и вторая теоремы о достаточных условиях экстремума. Первая связана с исследованием знака производной в окрестности рассматриваемой точки. А вторая - со знаком второй производной.
Аналогичные утверждения справедливы и для функций нескольких переменных с той лишь разницей, что вместо второй производной используется матрица Гессе - матрица вторых частных производных.
Алгоритм найти локальный экстремум функции
Итак, пошаговый алгоритм найти точки локального экстремума функции одной или нескольких переменных выглядит следующим образом:
- Найти область определения функции
- Вычислить частные производные первого порядка
- Найти стационарные (критические) точки
- Проверить достаточные условия для каждой стационарной точки
- Установить тип и определить значение найденных экстремумов
Рассмотрим применение алгоритма для функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6$. Сначала находим критическую точку $x = 2$. Далее проверяем знак второй производной $f''(x) = 6x-6$. В точке 2 вторая производная отрицательна, значит, имеет место максимум. Подставляя в исходную функцию, получаем значение этого локального максимума равным 4.
Особенности многомерного случая
Для функций нескольких переменных процедура аналогична, но есть некоторые дополнительные сложности:
- Большее количество частных производных и вторых производных
- Необходимость решать системы уравнений от нескольких переменных
- Более сложная интерпретация геометрии экстремумов в многомерном пространстве
В таких ситуациях часто применяют численные методы нахождения экстремумов - метод градиентного спуска, метод Ньютона и другие.
Типичные ошибки при нахождении локальных экстремумов
Необходимо внимательно контролировать правильность определения локальных экстремумов. Распространенные ошибки:
Вот типичные ошибки при нахождении локальных экстремумов:
- Неправильное определение области определения функции
- Ошибки при вычислении частных производных
- Не все критические точки найдены из условия равенства производных нулю
- Непроверка достаточных условий для критических точек
- Неверное определение типа найденных экстремумов (минимум вместо максимума)
Чтобы их избежать, следует тщательно контролировать выполнение всех пунктов алгоритма, а также применять графический анализ поведения функции.
Приложения теории локальных экстремумов
Нахождение точек локального экстремума - крайне полезный инструмент с множеством приложений:
- Оптимизация и поиск экстремумов функции в прикладных задачах
- Исследование функций и построение их графиков
- Анализ экономических процессов, поиск оптимумов
- Задачи машинного обучения - оптимизация целевой функции
- Определение оптимальных параметров в задачах управления
Пример оптимизации логистических затрат
Рассмотрим задачу минимизации суммарных транспортных расходов компании в зависимости от объема единовременной закупки $x$ единиц продукции:
- $C_1(x)$ - затраты на доставку в зависимости от объема
- $C_2(x)$ - затраты на аренду склада для хранения
- $F(x) = C_1(x) + C_2(x)$ - общая суммарная функция затрат
Необходимо найти значение $x$, при котором $F(x)$ минимальна. Решаем эту задачу методами теории локальных экстремумов.
Локальные экстремумы периодических и циклических процессов
Теория локальных экстремумов применима и для анализа периодических процессов в физике, экономике, технике. Например, при исследовании сезонных колебаний температуры, объемов продаж.
Для таких циклических зависимостей применяют спектральный анализ Фурье, позволяющий представить периодический процесс как сумму гармонических составляющих с экстремумами.
