Колебания и волны являются фундаментальными понятиями в физике, описывающими периодические изменения физических величин. В данной статье мы рассмотрим математическое описание колебаний с помощью дифференциальных уравнений.
Основные понятия теории колебаний
Колебания - это процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени некоторой физической величины в окрестности положения равновесия.
Различают следующие основные характеристики колебаний:
- Амплитуда колебаний A - наибольшее отклонение от положения равновесия;
- Период колебаний T - время одного полного колебания;
- Частота колебаний f=1/T - число колебаний в единицу времени.
Гармоническими называются колебания с колебания уравнение координаты, скорости или ускорения по гармоническому закону, например:
x = Acos(ωt + φ)0
где ω = 2πf - циклическая частота. Фаза колебаний φ определяет положение колеблющейся точки в данный момент времени.
Примерами простейших колебательных систем являются уравнение колебаний имеет вид и физический маятники. Их периоды колебаний выражаются формулами:
| Пружинный маятник | T = 2π√(m/k) |
| Математический маятник | T = 2π√(l/g) |
где m - масса груза, k - жесткость пружины, l - длина нити, g - ускорение свободного падения.
Колебания могут происходить под действием внешней вынуждающей силы (вынужденные колебания) или без нее (свободные колебания).
Дифференциальные уравнения колебаний
Уравнения движения для колебательных систем можно записать на основе законов Ньютона. Рассмотрим горизонтальные колебания груза на пружине (рис.1).
Рис.1. Горизонтальные колебания груза на пружине.
Второй закон Ньютона для груза имеет вид:
m(d2x/dt2) = -kx
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
d2x/dt2+ ω02х = 0
где ω0 = √(k/m) - собственная частота колебаний. Решением этого уравнения являются функции вида x = Acos(ω0t + φ0) с произвольными амплитудой A и начальной фазой φ0.
Аналогично можно записать уравнения затухающих, параметрических, вынужденных колебаний и др.
Энергия колебательного движения
При гармонических колебаниях происходит периодическое превращение энергии системы из кинетической в потенциальную и обратно (рис.2).
Рис.2. Изменение энергий в колебательном движении.
В моменты прохождения положения равновесия вся энергия системы состоит только из кинетической энергии:
Eк = mv2/2, Eп = 0
В крайних точках пути, напротив, вся энергия представлена потенциальной энергией деформированной пружины:
Eк = 0, Eп = kx2/2
Полная механическая энергия колебательной системы при этом остается постоянной.
Уравнение баланса энергий для гармонического осциллятора имеет вид:
E = Eк + Eп = const
Сложение гармонических колебаний
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты с разными амплитудами A1 и A2:
x1 = A1cos(ωt)
x2 = A2cos(ωt)
Результирующее колебание также гармоническое с амплитудой A и начальной фазой φ0:
x = (A12 + A22)1/2cos(ωt + φ0)
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами траектория движения представляет эллипс с параметрами, зависящими от амплитуд и разности фаз колебаний.
Распространение колебаний в среде
Колебания могут распространяться в упругих средах в виде волн. Волны характеризуются длиной λ и скоростью распространения υ.
Уравнение гармонической бегущей волны имеет вид:
y = Acos(ωt ± kx + φ0)
где k = 2π/λ - волновое число. Знак "+" соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси x, знак "-" - в отрицательном.
Колебания в физике твердого тела
В твердых телах возможны упругие колебания атомов в узлах кристаллической решетки - фононы. Их частоты ω связаны с волновым вектором k соотношением:
ω = υk
где υ - скорость звука в данном материале. На фононах основаны многие явления в физике твердого тела.
Колебания в оптике
Электромагнитные колебания оптического диапазона представляют собой световые волны. Их длины в вакууме лежат в пределах приблизительно 380-780 нм. Распространяясь, они подчиняются законам геометрической и волновой оптики.
Звуковые волны и акустика
Звуковые волны представляют собой механические колебания и волны в газах, жидкостях и твердых телах, воспринимаемые органами слуха. Их частоты лежат в диапазоне 16-20 000 Гц.
Основное уравнение акустики связывает звуковое давление p и объемную скорость частиц среды υ:
p = ρcυ
где ρ - плотность среды, c - скорость звука.
Электромагнитные колебания и волны
Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности. Их частота определяется по формуле Томсона:
f = 1/2π√(LC)
При распространении в пространстве они превращаются в электромагнитные волны, которые описываются уравнениями Максвелла.
Радиотехника
В радиотехнике электромагнитные колебания и волны радиочастотного диапазона (от единиц Гц до сотен ГГц) используются для передачи информации на расстояние. Основу радиосвязи составляют принципы генерации, модуляции, излучения и приема радиоволн.
Квантовая физика
Согласно квантовой теории, энергия колебательных и волновых процессов может передаваться дискретными порциями - квантами. На этом основано устройство лазеров, возникновение линейчатых оптических спектров и многое другое.
Нелинейные колебания
При больших амплитудах колебаний система может вести себя нелинейно - зависимость восстанавливающей силы от смещения становится нелинейной. Это приводит к искажению гармонического закона колебаний.
Примерами нелинейных колебаний являются:
- Колебания маятника при больших углах отклонения
- Параметрические колебания
- Автоколебания
Описание нелинейных колебаний требует применения численных методов и компьютерного моделирования.
Хаотические колебания
Детерминированный хаос возникает в нелинейных динамических системах при определенных параметрах. Хаотические колебания носят апериодический характер и чрезвычайно чувствительны к начальным условиям.
Известные примеры динамического хаоса:
- Двойной маятник
- Прецессия вращающегося волчка
- Модель Лоренца в метеорологии
Активно исследуются возможности управления хаосом и его практические применения.
Квантовые колебания
Согласно квантовой механике, некоторые физические системы могут находиться только в строго определенных стационарных состояниях, соответствующих дискретным значениям энергии.
Переходы между этими состояниями происходят с испусканием или поглощением квантов энергии в виде фотонов. Этот процесс можно интерпретировать как квантовые колебания.
