Что такое факториал числа: определение и способы вычисления

Когда в школе на уроках алгебры или математического анализа вдруг всплывает незнакомый термин "факториал", многие начинают скучать или паниковать. Но на самом деле за этим скучным словом скрывается интересная и полезная вещь, которая пригодится не только математикам, но и программистам или даже лингвистам! Давайте разберемся, что же такое факториал, как его вычислять и где в жизни он может пригодиться.

Что такое факториал числа

Итак, что такое факториал? Факториал числа n обозначается восклицательным знаком: n! По определению, это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Например, факториал числа 5 будет равен:

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

А факториал числа 3:

3! = 1 x 2 x 3 = 6

Факториал определен только для целых неотрицательных чисел. То есть нельзя взять факториал отрицательного числа или дроби.

По умолчанию считается, что 0! = 1. Это соглашение нужно для упрощения некоторых математических выкладок с факториалами.

Страница старой книги с рукописными формулами для вычисления факториалов, включая формулу Стирлинга

Зачем нужен факториал

Главная сфера применения факториалов - это комбинаторика. С помощью факториалов можно легко и быстро считать число перестановок или сочетаний.

Например, если у вас есть 5 разных мячей и нужно узнать, сколько способов выстроить из них цепочку, то ответом будет 5!. В данном случае 5! = 120 способов.

Как вычислить факториал числа

Существует несколько способов найти факториал числа n:

  1. Перемножить все числа от 1 до n. Но так можно вычислять факториалы только небольших чисел, потому что выражения быстро становятся громоздкими.
  2. Воспользоваться "что такое факториал и как его находить" специальными таблицами значений или онлайн-калькуляторами.
  3. Использовать рекурсивную формулу: n! = n * (n-1)!. То есть каждый факториал выражается через факториал предыдущего числа.
  4. Применить приближенные формулы, например формулу Стирлинга, позволяющую вычислить факториалы очень больших чисел.

Подробнее рассмотрим некоторые методы далее.

История факториала

Первое упоминание обозначения n! в математическом смысле встречается в работах немецкого математика Кристиана Крафта в начале XVIII века.

А сам термин "факториал" придумал другой математик - Кристиан Гольдбах в письме к Леонарду Эйлеру в 1729 году.

Интересный факт: Эйлер в том же году предложил обозначать факториал с помощью знака умножения "x", то есть 5x. Но в итоге прижилось обозначение с восклицательным знаком.

Сам Эйлер внес огромный вклад в изучение факториалов. В частности, он доказал формулу:

n! = Γ(n+1)

Где Γ - это гамма-функция, обобщающая понятие факториала на действительные и комплексные числа.

Свойства и правила вычисления факториалов

Рассмотрим основные свойства факториалов, которые помогут быстрее выполнять вычисления или упрощать математические преобразования:

  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • n! = n * (n-1)! - рекуррентная формула

Последняя формула часто используется на практике. Она позволяет выразить факториал числа n через факториал предыдущего числа n-1. Благодаря этому можно легко записать алгоритм для вычисления факториалов.

Например, используя рекуррентную формулу, вычислим 5!:

5! = 5 * 4! = 5 * 4 * 3! = 5 * 4 * 3 * 2! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1! = 120

Огромные светящиеся голограммы факториалов висят и вращаются в воздухе над ночным городом

Способы вычисления факториалов

Давайте более подробно разберем, какие существуют методы для нахождения факториалов чисел.

Перебор чисел

Самый простой и очевидный способ - последовательно перемножить все числа от 1 до заданного числа n. Но так можно считать факториалы только небольших чисел, потому что выражения быстро становятся громоздкими и трудными для вычисления.

Использование калькулятора

Гораздо проще и быстрее воспользоваться калькулятором - научным или даже встроенным в смартфон. Большинство калькуляторов умеют аутоматицхески считать факториал числа, если ввести выражение вида "5!", где 5 - это число.

Таблица факториалов

Еще один удобный способ - использовать уже готовую таблицу значений факториалов. В ней для наиболее часто используемых чисел уже посчитаны факториалы. Например:

1! 1
2! 2
3! 6
4! 24

И т.д. Такая таблица поможет быстро находить факториалы чисел до 10-20.

Формула Стирлинга

Чтобы найти факториал очень большого числа, используют приближенные формулы. Самая известная из них - "что такое факториал и как его находить" формула Стирлинга. Она дает хорошее приближение к точному значению факториала.

Рекурсивный алгоритм

Еще один распространенный способ - применить рекурсивную формулу, которую мы рассматривали ранее:

n! = n * (n-1)!

С ее помощью можно написать рекурсивный алгоритм для вычисления факториалов в программировании. Это часто используется для обучения рекурсии на примере факториалов.

Типы и виды факториалов

Помимо обычного факториала существует множество его разновидностей и обобщений. Рассмотрим некоторые из них.

Двойной факториал

Двойной факториал обозначается как n!! И вычисляется только через четные или нечетные числа в зависимости от четности самого n. Например:

5!! = 1 * 3 * 5 = 15

А 6!! = 2 * 4 * 6 = 48

Восходящие и нисходящие факториалы

Существуют также понятия восходящего (обозначается как n!) и нисходящего (обозначается как n!) факториалов.

Восходящий - это произведение чисел от 1 до n:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

А нисходящий - произведение чисел от n до 1:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

m-факториал

Обобщением является m-факториал. Это произведение каждого m-го числа от 1 до n. Например, 3-факториал от 10 будет:

10!!! = 1 * 4 * 7 * 10 = 280

Гиперфакториал

Существует также гиперфакториал - это произведение не самих чисел, а их обычных факториалов:

4! = 1! * 2! * 3! * 4!

Гиперфакториалы растут астрономически быстро даже на небольших числах.

Применение факториалов на практике

Факториалы применяются в различных областях математики и ее приложениях.

Теория вероятностей и статистика

С помощью факториалов удобно считать число перестановок и сочетаний, которые часто фигурируют в формулах теории вероятностей и математической статистики.

Комбинаторика

В комбинаторике факториалы незаменимы для подсчета различных комбинаций объектов. Например, число способов разложить 5 предметов в 2 группы равно 5! / (3! * 2!) = 10.

Решение уравнений

Факториалы могут встречаться в алгебраических уравнениях, которые нужно решать. Зная свойства факториалов, можно упростить такие уравнения.

Программирование

В программировании задачи на рекурсию часто даются на примере вычисления факториалов с использованием рекуррентной формулы.

Генерация тестовых данных

Благодаря быстрому росту, факториалы удобно использовать для генерации больших чисел, когда нужны тестовые или случайные данные в программах.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.