Когда в школе на уроках алгебры или математического анализа вдруг всплывает незнакомый термин "факториал", многие начинают скучать или паниковать. Но на самом деле за этим скучным словом скрывается интересная и полезная вещь, которая пригодится не только математикам, но и программистам или даже лингвистам! Давайте разберемся, что же такое факториал, как его вычислять и где в жизни он может пригодиться.
Что такое факториал числа
Итак, что такое факториал? Факториал числа n обозначается восклицательным знаком: n! По определению, это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Например, факториал числа 5 будет равен:
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
А факториал числа 3:
3! = 1 x 2 x 3 = 6
Факториал определен только для целых неотрицательных чисел. То есть нельзя взять факториал отрицательного числа или дроби.
По умолчанию считается, что 0! = 1. Это соглашение нужно для упрощения некоторых математических выкладок с факториалами.

Зачем нужен факториал
Главная сфера применения факториалов - это комбинаторика. С помощью факториалов можно легко и быстро считать число перестановок или сочетаний.
Например, если у вас есть 5 разных мячей и нужно узнать, сколько способов выстроить из них цепочку, то ответом будет 5!. В данном случае 5! = 120 способов.
Как вычислить факториал числа
Существует несколько способов найти факториал числа n:
- Перемножить все числа от 1 до n. Но так можно вычислять факториалы только небольших чисел, потому что выражения быстро становятся громоздкими.
- Воспользоваться "что такое факториал и как его находить" специальными таблицами значений или онлайн-калькуляторами.
- Использовать рекурсивную формулу: n! = n * (n-1)!. То есть каждый факториал выражается через факториал предыдущего числа.
- Применить приближенные формулы, например формулу Стирлинга, позволяющую вычислить факториалы очень больших чисел.
Подробнее рассмотрим некоторые методы далее.
История факториала
Первое упоминание обозначения n! в математическом смысле встречается в работах немецкого математика Кристиана Крафта в начале XVIII века.
А сам термин "факториал" придумал другой математик - Кристиан Гольдбах в письме к Леонарду Эйлеру в 1729 году.
Интересный факт: Эйлер в том же году предложил обозначать факториал с помощью знака умножения "x", то есть 5x. Но в итоге прижилось обозначение с восклицательным знаком.
Сам Эйлер внес огромный вклад в изучение факториалов. В частности, он доказал формулу:
n! = Γ(n+1)
Где Γ - это гамма-функция, обобщающая понятие факториала на действительные и комплексные числа.
Свойства и правила вычисления факториалов
Рассмотрим основные свойства факториалов, которые помогут быстрее выполнять вычисления или упрощать математические преобразования:
- 0! = 1
- 1! = 1
- n! = n * (n-1)! - рекуррентная формула
Последняя формула часто используется на практике. Она позволяет выразить факториал числа n через факториал предыдущего числа n-1. Благодаря этому можно легко записать алгоритм для вычисления факториалов.
Например, используя рекуррентную формулу, вычислим 5!:
5! = 5 * 4! = 5 * 4 * 3! = 5 * 4 * 3 * 2! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1! = 120

Способы вычисления факториалов
Давайте более подробно разберем, какие существуют методы для нахождения факториалов чисел.
Перебор чисел
Самый простой и очевидный способ - последовательно перемножить все числа от 1 до заданного числа n. Но так можно считать факториалы только небольших чисел, потому что выражения быстро становятся громоздкими и трудными для вычисления.
Использование калькулятора
Гораздо проще и быстрее воспользоваться калькулятором - научным или даже встроенным в смартфон. Большинство калькуляторов умеют аутоматицхески считать факториал числа, если ввести выражение вида "5!", где 5 - это число.
Таблица факториалов
Еще один удобный способ - использовать уже готовую таблицу значений факториалов. В ней для наиболее часто используемых чисел уже посчитаны факториалы. Например:
1! | 1 |
2! | 2 |
3! | 6 |
4! | 24 |
И т.д. Такая таблица поможет быстро находить факториалы чисел до 10-20.
Формула Стирлинга
Чтобы найти факториал очень большого числа, используют приближенные формулы. Самая известная из них - "что такое факториал и как его находить" формула Стирлинга. Она дает хорошее приближение к точному значению факториала.
Рекурсивный алгоритм
Еще один распространенный способ - применить рекурсивную формулу, которую мы рассматривали ранее:
n! = n * (n-1)!
С ее помощью можно написать рекурсивный алгоритм для вычисления факториалов в программировании. Это часто используется для обучения рекурсии на примере факториалов.
Типы и виды факториалов
Помимо обычного факториала существует множество его разновидностей и обобщений. Рассмотрим некоторые из них.
Двойной факториал
Двойной факториал обозначается как n!! И вычисляется только через четные или нечетные числа в зависимости от четности самого n. Например:
5!! = 1 * 3 * 5 = 15
А 6!! = 2 * 4 * 6 = 48
Восходящие и нисходящие факториалы
Существуют также понятия восходящего (обозначается как n!) и нисходящего (обозначается как n!) факториалов.
Восходящий - это произведение чисел от 1 до n:
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
А нисходящий - произведение чисел от n до 1:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
m-факториал
Обобщением является m-факториал. Это произведение каждого m-го числа от 1 до n. Например, 3-факториал от 10 будет:
10!!! = 1 * 4 * 7 * 10 = 280
Гиперфакториал
Существует также гиперфакториал - это произведение не самих чисел, а их обычных факториалов:
4! = 1! * 2! * 3! * 4!
Гиперфакториалы растут астрономически быстро даже на небольших числах.
Применение факториалов на практике
Факториалы применяются в различных областях математики и ее приложениях.
Теория вероятностей и статистика
С помощью факториалов удобно считать число перестановок и сочетаний, которые часто фигурируют в формулах теории вероятностей и математической статистики.
Комбинаторика
В комбинаторике факториалы незаменимы для подсчета различных комбинаций объектов. Например, число способов разложить 5 предметов в 2 группы равно 5! / (3! * 2!) = 10.
Решение уравнений
Факториалы могут встречаться в алгебраических уравнениях, которые нужно решать. Зная свойства факториалов, можно упростить такие уравнения.
Программирование
В программировании задачи на рекурсию часто даются на примере вычисления факториалов с использованием рекуррентной формулы.
Генерация тестовых данных
Благодаря быстрому росту, факториалы удобно использовать для генерации больших чисел, когда нужны тестовые или случайные данные в программах.