Транспортная задача - важнейший инструмент оптимизации логистики и цепочек поставок. Метод потенциалов позволяет эффективно находить оптимальное решение. Давайте разберемся в сути этого метода на конкретных примерах.
1. Постановка транспортной задачи
Транспортная задача - это задача оптимального планирования перевозок однородного продукта между пунктами отправления и пунктами назначения. Формально ее можно представить так:
- Дано m пунктов отправления и n пунктов назначения
- В каждом пункте отправления есть некоторый объем продукта для отгрузки
- Каждый пункт назначения имеет потребность в определенном объеме продукта
- Известны стоимости перевозки единицы продукта между каждой парой пунктов
Необходимо составить такой план перевозок, чтобы:
- Удовлетворить спрос Every пункта назначения
- Использовать весь объем продукта в каждом пункте отправления
- Минимизировать общую стоимость транспортировки
То есть транспортная задача - это задача линейного программирования по оптимизации целевой функции при заданных ограничениях. Целевая функция здесь - минимизация затрат на перевозки, а ограничения задают баланс между объемами отправления и получения груза.
Рассмотрим классический численный пример такой задачи from Ф.Л. Хичкока:
| Пункт отправления | Пункт назначения | Объем для отправки |
| А | 1 | 50 |
| B | 2 | 100 |
| Пункт назначения | Требуемый объем | |
| 1 | 45 | |
| 2 | 25 |
Здесь два пункта отправления А и B с объемами 50 и 100 единиц продукта. И два пункта назначения 1 и 2 с потребностями 45 и 25 единиц. При этом общий объем продукта для отправки равен суммарной потребности в пунктах назначения. То есть задача сбалансирована.
2. Основные понятия и обозначения
Для формализации транспортной задачи используются следующие основные обозначения:
- i = 1, ..., m - индекс пункта отправления
- j = 1, ..., n - индекс пункта назначения
- ai - объем продукта в i-м пункте отправления
- bj - потребность j-го пункта назначения
- xij - объем перевозок из i в j
- dij - стоимость перевозки единицы продукта из i в j
Тогда математическая модель транспортной задачи имеет вид:
при ограничениях:
Где Q - целевая функция (затраты на перевозку), xij - искомый план перевозок.
Допустимый план перевозок должен удовлетворять ограничениям по балансу. Если этот план обеспечивает минимум затрат Q при заданных ограничениях, то он является оптимальным.
3. Формирование опорного плана
Метод потенциалов решения транспортной задачи начинается с построения некоторого начального плана перевозок, который называется опорным . Этот план должен удовлетворять ограничениям задачи, но может быть не оптимальным.
Один из распространенных способов получения опорного плана - метод Северо-Западного угла. Он заключается в последовательном заполнении ячеек таблицы перевозок:
- Начинают с левого верхнего угла, записывая x11 = min{a1, b1}
- Если a1 > b1, то разность а1 - b1 переносится на следующий столбец
- Аналогично для строки и столбца
- Процесс продолжается слева направо и сверху вниз
Рассмотрим численный пример:
| 5 | 2 | 4 | |
| 40 | 20 | 0 | |
| 10 | 40 | 40 | |
| 8 | 0 | 40 | |
| 60 | 60 | 80 | 60 |
| 40 | 60 | 80 | 60 |
Методом Северо-Западного угла получаем опорный план перевозок:
| 40 | 20 | 0 |
| 0 | 40 | 40 |
| 0 | 0 | 60 |
Основной недостаток этого метода - план может сильно отличаться от оптимального. Поэтому применяют и другие подходы, например аппроксимацию Фогеля...
4. Аппроксимация Фогеля
Еще один распространенный подход к формированию опорного плана - аппроксимация Фогеля. Он основан на введении понятия штрафов:
- Вычисляются разности между минимальной и следующей по величине стоимостями перевозок в каждой строке и столбце
- Эти разности интерпретируются как штрафы за неоптимальный выбор маршрута
- Сначала заполняется ячейка с максимальным штрафом и процесс повторяется
Рассмотрим пример:
| 10 | 18 | 24 |
| 23 | 25 | 38 |
Здесь максимальный штраф 38 находится в ячейке с минимальной стоимостью перевозки 18. Заполняем ее и повторяем расчет.
Достоинствами метода Фогеля являются:
- Получение более реалистичного опорного плана
- Применимость для задач большой размерности
- Концептуальная простота
Однако этот план также может сильно отличаться от оптимального.
5. Проверка опорного плана на оптимальность
После получения опорного плана перевозок необходимо проверить, действительно ли он является оптимальным.
Для этого в методе потенциалов решения транспортной задачи используется понятие потенциалов пунктов отправления и назначения. Они определяются из системы уравнений:
где αi и βj - потенциалы пунктов, dij - затраты на перевозку.
Решение этой системы позволяет получить матрицу так называемых фиктивных стоимостей перевозок. Если для любой свободной ячейки выполняется:
то опорный план является оптимальным.
Иначе план можно улучшить, что приводит к переходу к новому опорному плану.
6. Улучшение опорного плана
Если опорный план не является оптимальным, необходим переход к новому, улучшенному варианту. Для этого:
- Находится положительный элемент в матрице фиктивных стоимостей
- Соответствующая переменная вводится в базис с максимально возможным значением
- Повторяются расчеты для нового опорного плана
Процесс итерационно продолжается до тех пор, пока не будет найден опорный план, удовлетворяющий критерию оптимальности.
7. Применение метода в логистике
Транспортная задача широко используется при оптимизации международных перевозок и проектировании логистических сетей. Метод потенциалов позволяет эффективно находить оптимальный план.
При этом возможен учет дополнительных факторов:
- Ограничения по пропускной способности транспортных узлов
- Наличие нескольких видов транспорта
- Вероятностный характер спроса на перевозки
Для крупных транспортных сетей задача может содержать сотни пунктов отправления и назначения. Тогда требуются методы сокращения размерности исходных данных. Перспективным является применение аппарата искусственного интеллекта.
8. Масштабирование задачи
Для крупномасштабных задач транспортной логистики с большим числом пунктов отправления и назначения прямое применение метода потенциалов может быть затруднительным.
В таких случаях используются различные приемы сокращения размерности исходных данных:
- Объединение близко расположенных пунктов
- Введение виртуальных транспортных узлов
- Иерархическое представление транспортной сети
Это позволяет свести решение к нескольким взаимосвязанным задачам меньшей размерности. Однако при этом может снижаться точность найденного решения.
9. Применение искусственного интеллекта
Многообещающим направлением является использование методов искусственного интеллекта для решения задачи.
В частности, применяются:
- Нейронные сети для аппроксимации оптимального плана
- Генетические алгоритмы для перебора вариантов
- Нечеткая логика для учета качественных факторов
Преимуществом является возможность обработки задач очень большой размерности. Однако качество результатов может быть нестабильным.
10. Учет вероятностного характера данных
Реальные задачи транспортной логистики часто характеризуются вероятностным характером исходных данных:
- Случайный спрос на перевозки
- Возможность нештатных ситуаций
- Неточность прогнозов
Для учета этих факторов применяется аппарат теории вероятностей и методы стохастического программирования. Но сложность модели при этом существенно возрастает.
11. Облачные технологии
Перспективно применение облачных технологий и сервисов для решения транспортных задач:
- Хранение больших массивов исходных данных
- Масштабируемые вычисления в облаке
- Предоставление решения как онлайн-сервиса
Однако при этом необходимо обеспечение конфиденциальности и безопасности данных логистических компаний.
12. Мобильные приложения
Перспективным является создание мобильных приложений для решения транспортных задач:
- Сбор данных о текущих заказах и грузопотоках в режиме реального времени
- Оперативная оптимизация маршрутов доставки
- Учет факторов дорожных заторов и пробок
Это позволит логистическим и транспортным компаниям более гибко реагировать на изменение спроса и условий на дорогах.
13. Геоинформационные системы
Эффективность решения транспортных задач может быть существенно повышена за счет интеграции с геоинформационными системами и навигаторами.
В частности, это позволяет учитывать:
- Расстояния между пунктами доставки
- Параметры дорожной сети
- Характеристики транспортных средств
При этом качество найденного решения существенно возрастает за счет использования более достоверных исходных данных.
14. Учет ограничений пропускной способности
В реальных условиях на оптимальный план перевозок накладываются дополнительные ограничения, которые также необходимо учитывать.
К таким ограничениям относятся:
- Пропускная способность транспортных узлов
- Наличие разрешений и квот
- Технические параметры подвижного состава
Это усложняет постановку транспортной задачи, но повышает адекватность найденного решения реальной ситуации.
15. Учет качественных факторов
Помимо количественных показателей, при выборе оптимального плана перевозок часто учитываются и качественные факторы:
- Надежность транспортных компаний
- Безопасность маршрутов
- Своевременность доставки
Для их формализации используются экспертные оценки и нечеткие показатели. Это позволяет повысить обоснованность принимаемых логистических решений в условиях многокритериальности.
