Равнобедренный треугольник - одна из базовых фигур планиметрии. Знание его свойств и признаков помогает решать многие задачи геометрии.
1. Определение равнобедренного треугольника
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Например, в треугольнике ABC стороны AB и AC равны по длине.
AB = AC
Равные стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием . Так в нашем примере BC – основание, а AB и AC – боковые стороны.
- Боковые стороны: AB, AC
- Основание: BC
От равностороннего треугольника, у которого все 3 стороны равны, равнобедренный отличается тем, что равны только 2 стороны.
Рассмотрим несколько конкретных примеров равнобедренных треугольников:
- Треугольник со сторонами 3, 3 и 4 см
- Треугольник с углами 30°, 30° и 120°
- Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 5 см
Как видим, равнобедренным может быть как остроугольный, так и прямоугольный, и тупоугольный треугольник.
2. Первый признак: равенство углов при основании
Первый главный признак равнобедренного треугольника состоит в том, что его углы при основании равны. Докажем этот факт.
Рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник ABC с равными боковыми сторонами AB и AC. Проведем биссектрису угла B. Она делит треугольник на два малых треугольника ABF и ACF.
| Эти треугольники равны, так как имеют: |
|
Значит, углы FAB и FAC также равны. Но угол BAC является суммой этих двух углов. Поэтому получаем, что BAC = BCA.
Из равенства углов при основании следует несколько важных свойств:
- Сумма углов при вершине равна 180°
- Угол между боковыми сторонами всегда тупой
- Высота к основанию делит треугольник пополам
Покажем применение первого признака при решении задач.
Пример 1
Дан равнобедренный треугольник ABC. ∠BAC = 50°. Найти ∠ACB.
Решение: Из первого признака ∠BCA = ∠BAC = 50°. Тогда ∠ACB = 180° - 100° = 80°.
Пример 2
В треугольнике угол C равен 25°, а BD - биссектриса, проведенная из вершины B. Найдите угол ABD.
Решение: Так как BD - биссектриса, ∠ABD = ∠DBC = 25°. По первому признаку треугольник ABD равнобедренный, значит ∠ADB тоже равен 25°.
3. Второй признак: свойства высоты, медианы и биссектрисы к основанию
Второй важный признак равнобедренного треугольника:в равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
Докажем, например, что высота является медианой.
Доказательство
Пусть BD - высота к основанию AC. Тогда треугольник ABD равен треугольнику CDB, так как AB = AC и ∠ABD = ∠CDB = 90°.
Значит, BD делит сторону AC пополам, то есть BD - медиана.
Следствия из второго признака
Из того, что высота, медиана и биссектриса совпадают, следует несколько важных свойств:
- Центр описанной окружности лежит на пересечении этих линий
- Центр вписанной окружности лежит там же
- Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле S = (ab · h) / 2, где a и b - боковые стороны, h - высота к основанию
Примеры применения второго признака
Рассмотрим несколько примеров.
Задача 1
Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 8 см. AF - биссектриса, проведенная к основанию. Найдите AF.
Решение. По второму признаку AF - высота. Высота делит сторону пополам, значит AF = 6 см.
Задача 2
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что АД = BD. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Решение. Так как AD - биссектриса, ∠ABD = ∠ADB. А по условию АД = BD. Значит, по первому признаку треугольник ABD равнобедренный. По второму признаку он и является искомым равнобедренным треугольником ABC.
4. Третий признак: равенство двух углов
Еще один важный признак равнобедренного треугольника гласит:
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Это легко доказать от противного. Пусть в некотором треугольнике ABC углы A и B равны. Предположим, что он не равнобедренный. Тогда по определению его стороны не равны. Но тогда по первому признаку его углы при основании не могут быть равны. Получается противоречие, значит наше предположение неверно. Следовательно, треугольник равнобедренный.
Другие признаки равнобедренности
Кроме трех рассмотренных, есть и другие признаки. Например:
- Если высота равна медиане или биссектрисе - треугольник равнобедренный
- Если медиана равна биссектрисе - треугольник равнобедренный
Пример применения третьего признака
Дан треугольник ABC. ∠A = 80°, ∠B = 40°. Докажите, что он равнобедренный и найдите третий угол.
Решение. ∠A = 80° = 2∠B, так как ∠B = 40°. По третьему признаку треугольник равнобедренный. Тогда его третий угол равен ∠C = 180° - 80° - 40° = 60°.
