Среднее геометрическое двух чисел - это такая величина, которая при перемножении сама на себя дает произведение этих двух чисел. Формальное определение звучит так: среднее геометрическое двух положительных чисел a и b это такое число x, что выполняется равенство:
x2 = a * b
Вычисление среднего геометрического
Для вычисления среднего геометрического двух чисел используется формула:
x = √(a * b)
Где:
- a и b - два заданных положительных числа
- x - искомое среднее геометрическое этих чисел
Например, чтобы найти среднее геометрическое чисел 8 и 32 нужно вычислить:
x = √(8 * 32) = √256 = 16
Свойства среднего геометрического двух чисел
У среднего геометрического двух чисел есть несколько полезных свойств:
- Среднее геометрическое двух чисел не может превышать их среднее арифметическое
- Среднее геометрическое двух чисел всегда меньше или равно наибольшему из этих чисел
- Если одно из чисел становится больше, а другое меньше, при неизменном их произведении, то среднее геометрическое этих чисел не меняется
Последнее свойство показывает, что среднее геометрическое устойчиво к таким изменениям исходных чисел, которые сохраняют их произведение. Это важное практическое применение среднего геометрического.
Применение среднего геометрического
Среднее геометрическое широко используется в математике, экономике, статистике и других областях. Вот некоторые типичные задачи, где применяется среднее геометрическое двух чисел:
- Вычисление средних темпов роста или прироста величины
- Определение средней производительности работы двух устройств
- Нахождение средней оценки или балла по двум показателям
- Вычисление средней скорости движения тела при двух разных скоростях
- Оценка среднего уровня или показателя, зависящего от произведения двух величин
В этих и многих других задачах среднее геометрическое позволяет получить обобщенную характеристику двух исходных величин с учетом их произведения.
Среднее геометрическое vs среднее арифметическое
Хотя среднее геометрическое и среднее арифметическое являются разными характеристиками двух чисел, иногда их путают или неправильно выбирают нужный вид среднего. Давайте разберем их отличия:
| Среднее арифметическое | Среднее геометрическое |
| Основано на сумме двух чисел | Основано на произведении двух чисел |
| Применяется к величинам, которые складываются (масса, длина, площадь и т.д.) | Применяется к относительным и производным величинам (скорости, темпы роста, производительность и т.д.) |
Как видно из таблицы, оба вида средних используются в разных ситуациях и дополняют друг друга. Главное - правильно выбрать нужный метод в зависимости от природы усредняемых величин.
Подводя итог, отметим, что среднее геометрическое двух чисел - простой и эффективный инструмент для многих математических задач. Полное понимание его свойств и особенностей в сравнении со средним арифметическим позволит применять его с максимальной пользой.
Доказательство формулы среднего геометрического двух чисел
Давайте докажем формулу для вычисления среднего геометрического двух чисел:
x = √(a * b)
Из определения среднего геометрического имеем:
x2 = a * b
Возводя обе части равенства в квадратный корень, получаем:
x = √(a * b)
Что и требовалось доказать. Таким образом, формула вытекает непосредственно из самого определения среднего геометрического.
Неравенство для среднего геометрического двух чисел
Рассмотрим неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух чисел a и b:
√(a * b) ≤ (a + b) / 2
Для проверки возведем каждую часть неравенства в квадрат:
(a * b) ≤ [(a + b) / 2]2
Преобразуем правую часть:
(a * b) ≤ (a2 + 2ab + b2) / 4
Приравняем коэффициенты при одинаковых членах в обеих частях неравенства. Получим:
1 ≤ 1
2 ≥ 4 1 ≤ 1
Так как 2 ≥ 4 не выполняется, то данное неравенство неверно. Таким образом для среднего геометрического и среднего арифметического двух чисел такого неравенства нет.
Геометрическая интерпретация среднего геометрического
Рассмотрим геометрический смысл среднего геометрического на примере прямоугольного треугольника:
Пусть a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.
Согласно теореме Пифагора:
a2 + b2 = c2
Извлекая квадратный корень из обеих частей:
√(a2 * b2) = c
Поскольку √(a2) = |a|, а √(b2) = |b|, то:
√(|a| * |b|) = c
Получаем, что гипотенуза c есть среднее геометрическое катетов a и b. Это важное геометрическое представление среднего геометрического двух отрезков.
Обобщение на большее количество чисел
Формулу среднего геометрического можно обобщить с двух чисел на произвольное количество:
GMn = √(a1 * a2 * ... * an)
Где GMn - среднее геометрическое n чисел a1, a2, ..., an.
Доказательство этой формулы полностью аналогично доказательству для двух чисел. Такое обобщение позволяет вычислять среднее геометрическое сколь угодно большого набора положительных чисел.
Вычисление среднего геометрического в Excel
В Excel среднее геометрическое вычисляется с помощью функции ГЕОМСРЕД():
=ГЕОМСРЕД(число1;число2;...)
Где число1, число2 - исходные значения. Например, чтобы найти среднее геометрическое чисел 3, 6 и 9, формула будет:
=ГЕОМСРЕД(3;6;9)
Результат - 6. Это очень удобный способ быстро находить среднее геометрическое в таблицах Excel.
