Тема площади сечений геометрических тел встречается во многих инженерных задачах. Но зачастую подобные расчеты вызывают затруднения из-за незнания точных формул или невнимательности.
Основные понятия и определения
Параллелепипед – это пространственная геометрическая фигура, ограниченная шестью параллельными парами противоположных граней. Грани параллелепипеда представляют собой параллелограммы. Основные элементы параллелепипеда:
- Грани – 6 параллелограммов
- Ребра – 12 отрезков
- Вершины – 8 точек
Различают несколько видов параллелепипедов:
- Прямоугольный – все углы прямые
- Косоугольный – есть непрямые углы
- Куб – все грани квадраты
Сечением параллелепипеда называется фигура, полученная при пересечении параллелепипеда секущей плоскостью. Сечением может быть многоугольник с числом сторон от 3 до 6.
Площадь – величина, численно равная количеству квадратных единиц, уложенных на поверхности плоской фигуры. Вычисляется по определенным формулам для разных видов фигур.
Формула для нахождения площади сечения параллелепипеда
Докажем общую формулу для вычисления площади произвольного сечения параллелепипеда. Пусть дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и секущая плоскость alpha. Рассмотрим сечение этой плоскостью в виде многоугольника M1M2...Mn (Рис.1).
Так как площадь многоугольника равна половине произведения периметра на апофему, то:
S(M1M2...Mn) = (M1M2 + M2M3 +...+ MnM1) * h / 2,
где h – высота, опущенная на сторону M1M2.
У параллелепипеда высоты граней попарно равны, поэтому отрезки M1M2, M2M3,..., MnM1 имеют одинаковую длину, обозначим ее через a. Тогда имеем:
Таким образом, формула для нахождения площади сечения параллелепипеда имеет вид:
где а – сторона сечения, равная длине ребра параллелепипеда, h – высота параллелепипеда.
Для прямоугольного параллелепипеда, у которого все углы 90°, высота равна одному из ребер c. Тогда формула упрощается:
Это и есть площадь сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью формула.
Применение на практике
Формулы площади сечения часто используются в строительстве и машиностроении.
Например, для расчета деформации балок и колонн различного сечения под нагрузкой. Чем больше площадь поперечного сечения балки, тем она прочнее и менее подвержена деформациям.
Также площадь сечения влияет на расход материалов для изготовления деталей заданной длины. Инженеры оптимизируют сечение балок и колонн, чтобы обеспечить требуемую прочность при минимальном расходе материалов.
Расчет емкостей заданного объема
Еще одно важное применение формул площади сечения - проектирование резервуаров и емкостей требуемого объема. Например, цистерн, баков, силосов и других объектов для хранения жидкостей, сыпучих материалов.
Известно, что объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Задавшись нужным объемом резервуара V и формой основания (чаще всего прямоугольник или круг), можно подобрать оптимальную высоту стенок:
где S - площадь основания, h - высота.
Такой расчет позволяет экономно расходовать материалы и место при строительстве и эксплуатации емкостей.
Выбор сечения строительных конструкций
От выбора сечения строительных элементов - балок, колонн, ферм - зависят их прочностные и эксплуатационные характеристики. Чаще всего используют двутавровое сечение из стали или железобетон прямоугольной формы.
Задавшись допустимыми напряжениями и нагрузкой, конструктор подбирает сечение, удовлетворяющее требованиям прочности и жесткости с минимальным расходом материала. Формулы позволяют быстро пересчитывать варианты и находить оптимальный.
Влияние на себестоимость изделий
При производстве машиностроительных изделий затраты на материалы составляют львиную долю в себестоимости. Поэтому конструкторы стараются минимизировать расход металлов, пластмасс и композитов за счет оптимизации сечений и форм.
Зная площадь поперечного сечения детали и ее длину, можно вычислить объем и массу материала заготовки. Изменение сечения на этапе проектирования позволяет в разы снизить стоимость комплектующих и готового изделия.
