Квадрат разности двух чисел: интересные примеры и задачи

Квадрат разности - одна из самых полезных формул в алгебре. Она позволяет быстро преобразовывать выражения, упрощать вычисления, находить неизвестные величины. Давайте разберемся, что это за формула, откуда она берется и как ее можно использовать на практике.

Что такое квадрат разности и откуда берется его формула

Квадрат разности - это формула для быстрого возведения в квадрат выражения типа (a - b). Например, нужно найти (3 - x)2. Вместо того, чтобы раскрывать скобки, перемножать многочлены и приводить подобные, можно воспользоваться специальной формулой:

Формула квадрата разности:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Где a и b - любые числа или выражения.

Давайте выведем эту формулу. Согласно определению возведения в квадрат, (a - b)2 означает умножение выражения (a - b) на само себя:

(a - b) * (a - b) = ?

Раскроем скобки и выполним умножение:

• a * a = a2
• a * (-b) = -ab
• (-b) * a = -ab
• (-b) * (-b) = b2

Сложим полученные члены:

a2 - ab - ab + b2

Объединим подобные слагаемые:

a2 - 2ab + b2

Получили искомую формулу квадрата разности двух чисел или выражений!

Как использовать формулу квадрата разности на практике

Формула квадрата разности пригодится для:

• Упрощения громоздких алгебраических выражений
• Разложения многочленов на множители
• Решения алгебраических уравнений
• Решения задач из геометрии, физики, экономики и других областей знаний

Давайте рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. Упрощение выражений

Нужно упростить выражение (x - 5)2. Вместо раскрытия скобок воспользуемся готовой формулой квадрата разности. Подставим числа x и 5 в формулу:

(x - 5)2 = x2 - 2x*5 + 25

= x2 - 10x + 25

Готово! Таким образом мы сэкономили время на раскрытии скобок и приведении подобных.

Пример 2. Разложение на множители

Дан многочлен x2 - 6x + 9. Требуется разложить его на множители. Заметим, что он похож на формулу квадрата разности. Представим x2 - 6x + 9 в виде (x - 3)2:

x2 - 6x + 9 = (x - 3)2

Получили разложение на множители!

квадрат разности примеры

Рассмотрим примеры использования квадрата разности для решения практических задач.

1. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов A и B, расстояние между которыми 80 км. Скорость первого - 15 км/ч, второго - 20 км/ч. Найти расстояние между ними через 2 часа после начала движения.

   Решение: Пусть x - расстояние между велосипедистами через 2 часа. Тогда за это время первый проедет 2*15 = 30 км, а второй 2*20 = 40 км. Изначально расстояние между ними было 80 км. Используем формулу квадрата разности:

   (80 - x)2 = 802 - 2*80*x + x2

   6400 - 160x + x2 = 0

   Решаем полученное уравнение и находим x = 50 км.

   Ответ: расстояние между велосипедистами через 2 часа составит 50 км.

2. Треугольник равнобедренный с основанием 20 см и боковой стороной 15 см. Найти высоту треугольника, проведенную к основанию.

   По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применим ее для данного треугольника. Пусть h - искомая высота. Тогда:

   (20/2)2 + h2 = 152

   100 + h2 = 225

   h2 = 225 - 100 = 125

   h = √125 = 5√5

   Ответ: высота треугольника, проведенная к основанию, равна 5√5 см.

Пример 3. Решение уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение:

x2 - 10x + 25 = 0

Заметим, что левая часть уравнения имеет вид квадрата разности. Представим ее так:

(x - 5)2 = 0

Отсюда x - 5 = 0, x = 5 - единственный корень этого уравнения.

Таким образом, благодаря узнаванию формулы квадрата разности, мы смогли быстро найти корень квадратного уравнения, не прибегая к дискриминанту или другим методам.

Задачи с квадратными уравнениями

Рассмотрим применение квадрата разности при решении текстовых задач, приводящих к квадратным уравнениям.

1. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а его площадь равна 80 см2. Найдите длины катетов.

   Решение. Пусть один катет равен x см, тогда второй катет равен 4x/3 см. По формуле площади прямоугольного треугольника: S = (x * 4x/3) / 2 = 80 x2 = 240 x = √240 = 12 см Тогда второй катет равен 4x/3 = 16 см

   Ответ: 12 см и 16 см.

2. Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел равна 650. Найдите эти числа.

   Пусть это числа 2n-1 и 2n+1. Тогда по условию:

   (2n-1)2 + (2n+1)2 = 650

   Раскрываем скобки и применяем формулу квадрата разности:

   4n2 - 4n + 1 + 4n2 + 4n + 1 = 650

   8n2 + 4 = 650

   8n2 = 646

   n2 = 81

   n = 9. Тогда искомые числа: 2n-1 = 17 и 2n+1 = 19.

квадрат разности формула примеры

Давайте еще раз вернемся к применению самой формулы квадрата разности на конкретных числовых примерах.

Найдите, не выполняя умножения, значение выражения:

(76 – 48)2

Решение. Представим 76 как 100 – 24. Тогда по формуле квадрата разности:

(76 – 48)2 = (100 – 24 – 48)2 =

= 1002 – 2·100·24 + 242 – 2·100·48 + 2·24·48 + 482 =

= 10000 – 4800 + 576 – 4800 + 2304 + 2304 = 584