Пропорции — фундаментальная тема школьного курса математики. Понимание свойств пропорций помогает решать множество задач из разных сфер: физики, химии, экономики. Давайте разберемся в тонкостях работы с пропорциями.
Основные определения
Что такое пропорция? По сути, это равенство двух отношений. Например:
a:b = c:d
Здесь a и d - крайние члены пропорции, b и c - средние. Иными словами, пропорция состоит из 4 чисел, связанных знаком равенства между двумя дробями (отношениями).
Пропорции часто применяются при решении задач в геометрии, физике, экономике и других науках. Например, известно, что скорость распространения звука в воздухе 340 м/с. Тогда можно записать пропорцию:
Расстояние (м) : Время (с) = 340 (м/с)
Ключевое свойство пропорций
У пропорций есть важнейшее свойство, которое называется основным . Оно гласит: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
ad = bc
Это свойство можно доказать с помощью преобразований. Рассмотрим пропорцию a:b = c:d. Умножим обе части на выражение bd:
a:b = c:d
(умножаем на bd) abd = bcd ad = bc
Как видите, мы получили равенство произведений крайних и средних членов. Это и есть доказательство основного свойства пропорций .
Дополнительные свойства
Помимо основного, у пропорций есть и другие полезные свойства. Например, в пропорции можно менять местами:
- Средние члены: b:c = a:d
- Крайние члены: c:b = d:a
- И крайние, и средние одновременно: d:c = b:a
То есть порядок членов в пропорции не принципиален, главное чтобы сохранялось равенство отношений. Из одной пропорции можно получить еще 7, меняя местами члены.
Например, если дана пропорция:
2:5 = 7:x
То также верно будет:
5:2 = x:7 7:x = 2:5 x:7 = 5:2
и т.д. Это свойство часто используется при решении задач с пропорциями.
Методы решения пропорций
Часто возникает задача - найти неизвестный член пропорции. Для этого можно использовать разные методы.
Метод 1. Основное свойство пропорций
Самый распространенный способ - применить формулу из основного свойства:
ad = bc
Например, дана пропорция:
2:5 = 7:x
Тогда:
2·x = 7·5 x = 35/2 = 17,5
Метод 2. Перестановка членов
Можно переставить неизвестный член в числитель:
x:7 = 2:5
И сразу получить ответ x = 17,5. Этот метод часто быстрее, чем метод 1.
Метод 3. Пропорциональное деление
Еще один способ - поделить оба члена пропорции на известный средний член:
2/5 = 7/x x = 7·5/2 = 17,5
Применение пропорций на практике
Где в жизни можно столкнуться с пропорциями и их свойствами? Давайте рассмотрим несколько примеров.
Задачи на проценты и концентрацию
Очень часто пропорции применяются в задачах с расчетом концентраций и процентных соотношений. Например, необходимо определить, сколько литров 5% раствора и сколько литров 10% раствора нужно взять для получения 100 литров 7%-ного раствора. Здесь как раз пригодится составление и решение пропорции.
Решение задачи на концентрацию растворов
Итак, дано:
- Объем 7% раствора - 100 л
- Объем 5% раствора - x л
- Объем 10% раствора - y л
Запишем пропорцию:
5% : x литров = 7% : 100 литров
Решаем эту пропорцию методом пропорционального деления:
0,05/x = 0,07/100 x = 100 * 0,05 / 0,07 = 71,4 литра
Аналогично для 10% раствора:
0,1/y = 0,07/100 y = 100 * 0,1 / 0,07 = 28,6 литра
Ответ: 71,4 литра 5% раствора и 28,6 литра 10% раствора.
Пропорции в экономических расчетах
Пропорции часто используются в экономике и финансовых вычислениях. Особенно когда нужно найти неизвестную величину исходя из имеющихся пропорциональных соотношений.
Пример: расчет сложных процентов
Банк начисляет 12% годовых на вклад. Клиент внес сумму P на 2 года. Какая сумма S будет на счете через 2 года с учетом сложных процентов?
Здесь опять же пригодятся пропорции:
Решение задачи про сложные проценты
Итак, есть начальная сумма вклада P.
Через 1 год при 12% годовых эта сумма составит:
P : 100% = S1 : 112%
Где S1 - сумма после 1 года.
Решаем эту пропорцию:
P/100 = S1/112 S1 = 112*P/100
Аналогично после 2 лет при сложных процентах будет:
P : 100% = S2 : (112%)*2
Решение:
P/100 = S2/(112*2) S2 = P*(112/100)2
Это и есть искомая сумма S через 2 года по вкладу с начальной суммой P и 12% годовых сложных процентов.
Применение в физике и химии
Пропорции широко используются также в естественных науках - физике, химии, биологии.
Пример из физики - расчет скорости
Допустим, автомобиль проедет расстояние 200 км за 2 часа. Какова его средняя скорость?
Здесь на помощь приходят пропорции. Известно, что:
Расстояние : Время = Скорость
Или в нашем случае:
200 км : 2 ч = V ср
Где V ср - средняя скорость.
Решаем пропорцию:
200/2 = V ср V ср = 100 км/ч
Аналогично можно составлять и решать пропорции для расчетов скорости, ускорения, силы и других физических величин.
Применение в химии
В химии пропорции используются, к примеру, при расчете массовой доли вещества в растворе или смеси.
Например, требуется определить массовую долю хлорида натрия NaCl в 20%-ном растворе, если известно, что плотность этого раствора равна 1,1 г/мл. Составим и решим пропорцию...
Решение задачи по химии
Дано:
- Раствор NaCl 20%-ный
- Плотность раствора 1,1 г/мл
Нужно найти: массовую долю хлорида натрия ω(NaCl) в этом растворе.
Обозначим:
- m(NaCl) - масса NaCl в растворе
- m(H2O) - масса воды в растворе
- m - общая масса раствора
Тогда можно записать пропорцию:
m(NaCl) : m(H2O) = ω(NaCl) : [100% - ω(NaCl)]
Решение:
m(NaCl)/m = ω(NaCl)/100% ω(NaCl) = m(NaCl)/m * 100%
Далее подставляем значения и вычисляем искомую долю ω(NaCl).
Подведение итогов
Как видно из примеров, знание свойств и умелое применение пропорций помогает в решении широкого круга прикладных задач из различных предметных областей - физики, химии, экономики.
