Формулы сокращенного умножения (ФСУ) - это важный инструмент в изучении алгебры. Они позволяют быстро и компактно выполнять ряд операций: возведение в степень сумм и разностей, разложение многочленов на множители, преобразования алгебраических дробей. Знание и умелое использование ФСУ облегчает решение многих задач ЕГЭ и в целом улучшает навыки работы с алгебраическими выражениями.
Основные формулы сокращенного умножения
Рассмотрим наиболее употребительные ФСУ, которые нужно знать наизусть:
- Квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Квадрат разности: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- Куб суммы: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- Разность квадратов: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Эти формулы можно запомнить, воспользовавшись несколькими приемами. Во-первых, квадрат суммы похож на квадрат разности - разница лишь в знаках. Во-вторых, формулы с кубами напоминают формулы для квадратов. И в-третьих, стоит научиться правильно проговаривать формулы, например: "Куб суммы двух выражений равен..."
Применение формул сокращенного умножения
ФСУ используются для:
- Упрощения алгебраических выражений
- Разложения многочленов на множители
- Преобразования рациональных дробей
- Решения уравнений и неравенств
- Быстрого вычисления значений сложных выражений
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Упростите выражение (x + 5)2 - 25.
Решение. Применим формулу квадрата суммы:
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
Подставим это разложение в исходное выражение:
(x + 5)2 - 25 = x2 + 10x.
Ответ: x2 + 10x.
Как видно из примера, ФСУ позволяют быстро выполнить упрощение, не прибегая к громоздким преобразованиям.
Пример 2. Вычислите значение выражения (92 - 82)(9 + 8) без использования калькулятора.
Решение. Представим разность квадратов в виде произведения суммы и разности чисел:
92 - 82 = (9 + 8)(9 - 8) = 17 · 1 = 17
Тогда исходное выражение запишется так:
(92 - 82)(9 + 8) = 17 · 17 = 289
Ответ: 289.
Здесь формула разности квадратов позволила значительно упростить вычисления.
Далее будут приведены примеры на разложение многочленов с использованием ФСУ.
Разложение многочленов на множители
Одно из важных применений формул сокращенного умножения - это разложение многочленов на множители. Это позволяет представить многочлен в более удобном для дальнейших преобразований виде. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3. Разложите многочлен x2 + 8x + 15 на множители.
Решение. Сравним многочлен с формулой квадрата суммы:
x2 + 8x + 15 = (x + 5)2
Значит, искомое разложение имеет вид:
x2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 5)
Пример 4. Разложите многочлен x2 - 4 на множители.
Решение. Представим разность 4 как произведение 2 и 2. Тогда по формуле разности квадратов получаем:
x2 - 4 = x2 - 22 = (x + 2)(x - 2)
Итак, мы рассмотрели основные формулы сокращенного умножения и некоторые примеры их использования при решении задач. ФСУ - важный инструмент, позволяющий быстро и эффективно работать с алгебраическими выражениями. Советуем выучить эти формулы и как можно больше отработать их применение на практике!
Преобразование алгебраических дробей
Еще одно важное применение формул сокращенного умножения - это преобразование алгебраических дробей. Запись рационального выражения в виде дроби позволяет упростить его вид и выполнить ряд полезных преобразований.
Пример 5. Преобразуйте дробь (x2 - 9)/(x - 3).
Решение. В числителе узнаем формулу разности квадратов. Применим ее:
x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
Теперь сократить дробь не составляет труда:
(x + 3)(x - 3) / (x - 3) = x + 3
Решение уравнений и неравенств
Сократить формулы сокращенного умножения можно не только для выполнения преобразований выражений, но и при решении уравнений, неравенств и их систем. ФСУ позволяют значительно упростить ход решения.
Пример 6. Решите уравнение x2 - 2x - 15 = 0
Решение. Запишем уравнение в виде:
x2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) = 0
По формуле нулю равно произведение двух множителей, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
x - 5 = 0, x + 3 = 0
Отсюда находим корни уравнения: x1 = 5, x2 = -3.
Ответ: 5 и -3.
Тема сокращенного умножения в школьном курсе алгебры
Тема формулы сокращенного умножения обычно изучается в 7 классе в рамках курса алгебры. Учащиеся знакомятся с наиболее употребительными ФСУ, разбирают примеры их использования для преобразования выражений и решения уравнений.
Однако в дальнейшем при изучении более сложных разделов алгебры и подготовке к ОГЭ, ЕГЭ знание ФСУ продолжает играть важную роль. Поэтому стоит не ограничиваться базовым знакомством с этой темой в 7 классе, а постоянно отрабатывать применение формул на практике.
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике владение формулами сокращенного умножения крайне важно. В экзаменационных заданиях ФСУ приходится применять при:
- Преобразовании алгебраических выражений
- Решении уравнений и неравенств
- Разложении многочленов на множители
- Нахождении значений громоздких выражений
Поэтому стоит много внимания уделить отработке заданий с использованием формул сокращенного умножения из демонстрационных вариантов ОГЭ и ЕГЭ прошлых лет.
Онлайн-тренажеры
Полезным подспорьем в изучении и закреплении ФСУ могут стать онлайн-тренажеры. Они позволяют в игровой форме отрабатывать применение различных формул, предлагая задачи с проверкой ответа и подсказками.
Среди популярных ресурсов можно выделить порталы ЯКласс, Решу ЕГЭ, Учи.ру и другие. Тренажеры есть как для компьютеров, так и для мобильных устройств - планшетов и смартфонов.
Полезные мнемонические приемы
Чтобы легче запомнить формулы сокращенного умножения, можно использовать различные мнемонические приемы - специальные ассоциации, образы, фразы.
Например, квадрат суммы и квадрат разности отличаются лишь знаками "+", "-" - это легко представить образно. А для формулы разности квадратов есть фраза "Разность квадратов разностью и суммой гонят".
Подобные ассоциации помогают быстрее и надежнее закрепить формулы в памяти.
Закрепление ФСУ с помощью задачников и репетитора
Хороший способ закрепить формулы сокращенного умножения - решение большого количества соответствующих задач. Можно использовать сборники заданий для 7-9 классов или пособия для подготовки к ОГЭ/ЕГЭ.
Также важно разбирать ошибки в применении ФСУ с преподавателем или репетитором по математике, чтобы выявить и устранить характерные пробелы в знаниях.
Развитие пространственного мышления с помощью ФСУ
Изучение формул сокращенного умножения полезно не только для решения задач по алгебре и подготовки к экзаменам. Они также способствуют развитию пространственного мышления и воображения.
Ведь многие ФСУ легче запомнить, если представить их графически. Например, формулы для квадратов и кубов сумм и разностей можно интерпретировать с помощью геометрических фигур.
ФСУ как основа математического мышления
Кроме того, работа с формулами сокращенного умножения формирует ряд важных навыков:
- Умение анализировать структуру выражений
- Способность замечать закономерности
- Навыки преобразования и упрощения выражений
А это - фундаментальные составляющие математического мышления, важные не только в рамках школьной программы, но и для дальнейшей учебы и жизни.
ФСУ в повседневной жизни
Некоторые идеи, заложенные в формулах сокращенного умножения, могут использоваться не только для решения математических задач. Они применимы в самых разных сферах.
Например, прием разложения сложной задачи на простые составляющие лежит в основе большинства ФСУ. А ведь это универсальный подход для решения многих проблем!
История формул сокращенного умножения
Многие из формул сокращенного умножения были известны еще в древности. В частности, формула для квадрата суммы использовалась в Вавилоне приблизительно в 2000 году до н.э.
Позднее основы алгебры и соответствующие формулы развивали арабские и средневековые европейские математики. А в XVII веке Ньютон и Лейбниц установили общий вид бинома для любого натурального показателя.
