Оглянитесь вокруг – многие предметы имеют изогнутые, пересекающиеся или самопересекающиеся элементы. Эти удивительные формы называются невыпуклыми многогранниками и скрывают в себе множество загадок. Давайте откроем для себя потаенный мир невыпуклой геометрии, узнать о свойствах таких фигур и где мы сталкиваемся с ними каждый день! Это путешествие изменит ваше представление об окружающих вас предметах.
Основные свойства невыпуклых многогранников
Невыпуклый многогранник отличается от привычного выпуклого тем, что его грани могут быть выгнутыми, пересекаться или даже самопересекаться. Такие необычные свойства придают этим фигурам особую загадочность.
Невыпуклость граней может возникать из-за того, что плоскость грани разделяет многогранник на несколько частей, часть из которых оказывается по другую сторону этой плоскости.
Различают однородные и неоднородные невыпуклые многогранники. У однородных все грани являются правильными многоугольниками, а у неоднородных - нет. Однородные в свою очередь делятся на правильные, полуправильные и бесконечные семейства призм и антипризм. Правильных всего 4 - так называемые тела Кеплера-Пуансо. В эту группу входят:
- Малый звездчатый додекаэдр
- Большой звездчатый додекаэдр
- Большой додекаэдр
- Большой икосаэдр
Полуправильных насчитывается уже 53. Это аналоги архимедовых тел, только невыпуклые. А семейства невыпуклых призм и антипризм в принципе бесконечны, так как в качестве их граней могут выступать многогранники с любым количеством сторон.
Отдельно стоит упомянуть вырожденные невыпуклые многогранники, у которых элементы (ребра, вершины) частично перекрываются. Это еще более загадочные образования!
История открытия и изучения
Невыпуклые многогранники издревле привлекали внимание ученых своей необычной природой. Еще древнегреческие мыслители пытались осмыслить парадоксальные свойства таких фигур.
Но по-настоящему активно изучать эти объекты начали только в Новое время. Огромный вклад внесли Иоганн Кеплер, Луи Пуансо и Огюстен Коши. Последний в начале 19 века доказал, что существует только 4 правильных невыпуклых многогранника.
В 19 веке поисками новых невыпуклых фигур занимались Гесс, Бадуро, Питч и другие. А уже в 20 веке при участии Коксетера, Миллера и Лонге-Хиггинса был составлен список из 75 однородных невыпуклых многогранников разных типов.
| 1878 | Гесс находит 2 новых однородных многогранника |
| 1881 | Бадуро "переоткрывает" 37 невыпуклых фигур |
| 1930-1932 | Коксетер и Миллер открывают еще 12 неизвестных ранее тел |
В 1975 году Скиллинг с помощью компьютеров провел перебор всех комбинаций и доказал, что других однородных невыпуклых многогранников не существует. Для перебора использовались так называемые "треугольники Шварца" - сферические треугольники, покрывающие сферу.
Таким образом, благодаря усилиям многих ученых, тайны невыпуклых геометрических фигур постепенно раскрывались на протяжении столетий.
Удивительные свойства невыпуклых многогранников находят применение в различных областях науки и техники.
Использование в химии и физике
В химии невыпуклые фигуры помогают описывать строение сложных молекул, атомы в которых связаны нелинейными химическими связями. Это приводит к искривлению структуры.
В физике их применяют в оптике для моделирования свойств нелинейных кристаллов, через которые проходит лазерный луч.
Архитектура и строительство
В архитектуре невыпуклые поверхности используют для создания футуристических построек. Они как бы "ломают" привычное восприятие здания.
В строительстве применение находят конструкции в виде невыпуклого многогранника из бумаги. Они отличаются простотой и в то же время высокой прочностью.
Технические устройства
В технике свойство невыпуклости можно использовать в деталях машин и механизмов. Например, такие шестерни и зубчатые колеса работают плавнее и тише.
В будущем невыпуклые наноструктуры могут найти широкое применение. Они обладают уникальными оптическими и электронными свойствами из-за квантовых эффектов.
В природе
Многие природные объекты имеют невыпуклую форму. Например, изгибы рек и озер, выступы скал, узоры на крыльях бабочек.
Даже некоторые молекулы, из которых состоит все живое, можно представить как невыпуклые многогранники. Так устроена знаменитая молекула ДНК, хранящая генетический код всех организмов.
Искусство и дизайн
В изобразительном искусстве невыпуклые формы часто используют художники-авангардисты для создания необычных, парадоксальных образов.
В современном дизайне популярна мебель и предметы интерьера со сложными изогнутыми линиями. Это придает им футуристический и даже фантастический вид.
Повседневная жизнь
Мы постоянно сталкиваемся с невыпуклыми поверхностями в обыденной жизни: ручки дверей, опоры мостов, элементы лестниц, каркасы зонтов и шатров.
Даже такой простой предмет как ложка имеет выгнутую форму, которая позволяет удобно зачерпывать жидкую и сыпучую пищу.
