Функции широко используются в математике для описания зависимостей между величинами. Одним из важных свойств функций является их монотонность или отсутствие таковой. Давайте разберемся, что означает монотонность функции, как ее определить и зачем это нужно.
Что такое монотонность функции: основные понятия
Прежде всего дадим определение. Монотонной функцией называется функция, которая либо не убывает, либо не возрастает на всей области своего определения. Иными словами, с увеличением аргумента функция либо только возрастает, либо только убывает.
Различают несколько видов монотонности:
- Возрастающая функция - с увеличением аргумента возрастает и значение функции
- Убывающая функция - с увеличением аргумента значение функции уменьшается
- Строго возрастающая и строго убывающая функции - их значения соответственно возрастают или убывают при любом, даже очень малом, изменении аргумента
С увеличением аргумента x значение функции y либо только растет (возрастающая функция), либо только уменьшается (убывающая функция).
Критерии монотонности
Чтобы определить, является ли функция монотонной на заданном интервале, используются специальные критерии. Рассмотрим их подробнее.
Необходимое и достаточное условия
Существуют два основных критерия:
- Необходимое условие: если функция монотонна, то ее производная либо положительна, либо отрицательна
- Достаточное условие: если производная функции положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает)
Первое условие говорит о том, что что такое монотонность функции и как ее определить с помощью анализа знака ее производной. Второе условие, наоборот, позволяет утверждать о монотонности функции при известном знаке производной.
Использование производной
Итак, основным инструментом для исследования монотонности функции является ее производная. Рассмотрим более формальные утверждения:
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x) > 0 при всех значениях x из этого интервала, то функция f(x) возрастает на интервале (a;b).
Если же f'(x) < 0 при всех значениях x из интервала (a;b), то функция f(x) убывает на этом интервале.
То есть достаточно определить знак производной функции, чтобы сделать вывод о ее характере монотонности. Проиллюстрируем это на примере:
Функция f(x) = 2x + 5 дифференцируема для любых значений x. Ее производная всегда положительна: f'(x) = 2 > 0. Следовательно, согласно приведенному выше утверждению, функция f(x) = 2x + 5 возрастает на любом интервале.
Аналогично можно показать, что функция g(x) = -3x + 1 убывает на любом интервале, поскольку ее производная всегда отрицательна: g'(x) = -3 < 0.
Таким образом, исследование знака производной позволяет определить характер монотонности функции.
Далее рассмотрим более строгие теоремы, связывающие поведение функции и ее производной.
Теоремы о связи производной и монотонности
Рассмотрим несколько утверждений из математического анализа, связывающих поведение функции и знак ее производной:
Теорема о неубывании
Если на промежутке (a;b) функция f(x) непрерывна и имеет неотрицательную производную f'(x) ≥ 0, то эта функция неубывающая на данном промежутке.
Теорема о невозрастании
Если на промежутке (a;b) функция f(x) непрерывна и имеет неположительную производную f'(x) ≤ 0, то эта функция невозрастающая на данном промежутке.
Теорема о строгом возрастании
Пусть на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и дифференцируема, причем f'(x) > 0 при всех значения x из этого интервала. Тогда функция f(x) строго возрастает на интервале (a;b).
Теорема о строгом убывании
Пусть на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и дифференцируема, причем f'(x) < 0 при всех значения x из этого интервала. Тогда функция f(x) строго убывает на интервале (a;b).
Данные утверждения позволяют строго доказать характер монотонности функции на заданном интервале при известном поведении ее производной. Рассмотрим их использование на конкретном примере.
Пример доказательства монотонности функции
Дана функция f(x) = x^3. Требуется доказать, что эта функция возрастает на интервале (-∞; +∞).
Решение. Найдем производную данной функции: f'(x) = 3x^2. Производная определена для любых значений аргумента x. Проверим знак производной:
- При x > 0 имеем: f'(x) = 3x^2 > 0
- При x < 0 имеем: f'(x) = 3x^2 > 0
То есть производная функции f(x) положительна при всех значениях аргумента x. Согласно теореме о строгом возрастании, функция f(x) = x^3 строго возрастает на интервале (-∞; +∞).
Аналогично можно строго доказать монотонность функций на конкретных интервалах с использованием рассмотренных выше теорем.
