Многочлены - основа математических вычислений. Давайте разберем, как правильно приводить многочлены к стандартному виду. Это поможет решать задачи по математике.
Что такое многочлен и его стандартный вид
Многочлен - это сумма одночленов. Одночлены называются членами многочлена. Например, 3ab4 - 7a2b - это многочлен.
Стандартный вид многочлена - это когда все одночлены записаны по определенным правилам:
- Нет подобных одночленов
- Все одночлены записаны в стандартном виде
- Одночлены упорядочены по убыванию степеней
- Перед одночленами стоят коэффициенты
Например, многочлен 2x2y - 3xy + 7x записан в стандартном виде.
Правила приведения многочлена к стандартному виду
Чтобы записать многочлен в стандартном виде, нужно выполнить следующие действия:
- Раскрыть скобки
- Привести
подобные члены
(слагаемые с одинаковыми переменными) - Упростить выражение (сложить, вычесть одночлены)
Давайте посмотрим на пример полного преобразования:
| Исходный многочлен: | 3x(2x2) - x4 + 5x2(2x - 1) |
| Раскрываем скобки: | 6x3 - x4 + 10x3 - 5x2 |
| Приводим подобные члены: | 16x3 - x4 - 5x2 |
Итого многочлен приведен к стандартному виду. Так можно записать любой многочлен.
Особые случаи приведения многочленов к стандартному виду
Рассмотрим некоторые особые случаи, которые встречаются при записи многочленов в стандартном виде.
Для многочлена одной переменной нет необходимости упорядочивать члены по степеням. Главное -
привести подобные члены
.
Например:
2x - x = x
Если в многочлене присутствует знак модуля, сначала нужно этот модуль убрать:
|2x| - |x| = 2|x| - |x| = x
Для многочлена нескольких переменных тоже применяются все стандартные правила преобразований.
Таким образом, основной
алгоритм записи многочлена в стандартном виде
остается неизменным.
Как найти степень многочлена в стандартном виде
Степень многочлена - это наибольшая степень одночленов, которые в него входят.
Например, в многочлене 3x4 + 5x2y - 2xy наибольшая степень у одночлена 3x4, значит степень всего многочлена равна 4.
Чтобы найти степень, нужно:
- Записать многочлен в стандартном виде
- Посмотреть на степени одночленов
- Выбрать из них наибольшую
Это позволит легко определить
степень любого многочлена в стандартном виде
.
Примеры решения заданий на запись многочлена в стандартном виде
Рассмотрим типовые примеры, как
запишите многочлен в стандартном виде
с подробным решением.
Пример 1. Запишите в стандартном виде: 6x2y + 3x2 - 4xy + 9
Решение:
1) Раскрываем скобки: нет
2) Приводим подобные члены: 6x2y - 4xy
3) Записываем одночлены по убыванию степеней: 6x2y + 3x2 + 9
Пример 2. Запишите в стандартном виде: (2x + 3)(x - 1)
Решение:
1) Раскрываем скобки: (2x + 3)(x - 1) = 2x2 - 2x + 3x - 3
2) Приводим подобные члены: 2x2 + x - 3
3) Многочлен приведен к стандартному виду.
Онлайн калькулятор для записи многочлена в стандартном виде
Для упрощения работы с многочленами можно использовать онлайн калькуляторы.
Такие калькуляторы позволяют ввести любой многочлен в начальном виде. После нажатия кнопки происходит автоматическое преобразование в стандартный вид.
Это очень удобно при решении большого количества однотипных примеров и задач. Не требуется делать все вычисления вручную.
Практические советы по использованию стандартного вида многочлена
Что значит записать многочлен в стандартном виде
и зачем это нужно делать?
Запись многочлена в стандартном виде - не самоцель, а очень полезный инструмент. Рассмотрим, где и как его можно применять.
Помощь в решении уравнений и неравенств
Запись многочлена в стандартном виде часто требуется при решении различных уравнений и неравенств.
Например, при решении квадратного уравнения нужно сначала привести уравнение к виду:
ax^2 + bx + c = 0
Для этого необходимо записать левую часть уравнения в стандартном виде. То же относится и к другим типам уравнений - с использованием знака модуля, показательных, логарифмических и т.д.
Упрощение дальнейших преобразований выражений
Если многочлен уже записан в стандартном виде, то дальнейшие действия с ним (возведение в степень, логарифмирование и пр.) значительно упрощаются.
Не нужно тратить время на раскрытие скобок и приведение подобных - все это уже сделано!
Формула многочлена стандартного вида
Общий вид формулы для многочлена в стандартном виде:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Здесь a - коэффициенты одночленов, а n - наибольшая степень многочлена.
Такая формула многочлена используется во многих математических выкладках.
Привести многочлен к стандартному виду в 7 классе
Умение записывать многочлен в стандартном виде входит в школьную программу по математике уже в 7 классе.
Поэтому каждый семиклассник должен знать алгоритм и уверенно выполнять такие преобразования.
Избегание ошибок при вычислениях
Еще один важный плюс записи многочлена в стандартном виде - это избежание ошибок при дальнейших вычислениях.
Если в многочлене есть не приведенные подобные члены или не полностью раскрыты скобки, то при вычислении значений очень легко ошибиться.
А если многочлен записан в стандартном виде - шансов напутать существенно меньше.
7 советов, как извлечь пользу из стандартного вида
Итак, как конкретно использовать преимущество стандартной записи многочлена?
- Применять при решении уравнений и неравенств
- Упрощать дальнейшие математические преобразования
- Избегать ошибок при ручных вычислениях
- Строить графики функций, заданных многочленами
- Находить наибольшее/наименьшее значение многочлена
- Определять промежутки знакопостоянства
- И многое другое...
Когда стандартный вид многочлена не нужен?
Хотя стандартизация полезна во многих случаях, иногда от нее можно и abstain.
Например, если многочлен используется в вычислениях как единое целое. Или если требуется показать разложение многочлена на множители.
То есть, приводить ли многочлен к стандартному виду или нет - решать в каждой конкретной ситуации.
Примеры многочленов в жизни
Хотя многочлены - довольно абстрактное математическое понятие, их можно встретить в реальных ситуациях.
Рассмотрим несколько примеров.
Моделирование процессов
С помощью многочленов можно описывать различные физические, химические, биологические и другие процессы. Например, разогрев вещества, рост популяции, затухание колебаний.
Аппроксимация данных
Экспериментальные данные часто аппроксимируют многочленом для упрощения дальнейшего анализа. Например, зависимость урожайности от температуры.
Обработка изображений
В компьютерном зрении широко используется разложение изображения в ряд Тейлора, который фактически является многочленом.
Исторический экскурс: развитие теории многочленов
Теория многочленов зародилась еще в Древней Греции вместе с основами алгебры.
Значительный вклад в развитие общей теории многочленов внес выдающийся математик и механик Леонард Эйлер в 18 веке.
И в наши дни исследования в этой области математики продолжаются и приносят новые плоды.
