Квадратные уравнения являются важной частью школьной программы по математике. Однако далеко не все понимают, как правильно находить корни таких уравнений. В этой статье мы подробно разберем понятие дискриминанта, как по нему вычислять корни квадратного уравнения и где это применяется на практике.
Основные понятия
Квадратным уравнением называется уравнение вида:
ax2 + bx + c = 0,
где a, b и c — некоторые числа, а x — неизвестная переменная.
Элементы этого уравнения называются:
- a - коэффициент при x2
- b - коэффициент при x
- c - свободный член
Различают полные, неполные и приведенные квадратные уравнения.
Дискриминант - это специальное выражение D, с помощью которого можно найти корни уравнения, не решая его. Дискриминант характеризует свойства коэффициентов уравнения.
На графике квадратичной функции дискриминант показывает расстояние по оси X между вершиной параболы и точкой пересечения с осью.
Формула корня дискриминанта
Основная формула дискриминанта через коэффициенты квадратного уравнения:
D = b2 - 4ac
Где a, b, c — коэффициенты уравнения ax2 + bx + c = 0.
Эту формулу дискриминанта используют чаще всего, поскольку она входит в универсальную формулу корней:
По значению дискриминанта D можно сразу определить, есть ли у данного уравнения корни и сколько:
- Если D > 0, то есть 2 корня
- Если D = 0, то есть 1 корень
- Если D < 0, то корней нет
Например, для уравнения x2 + 2x + 1 = 0 коэффициенты равны: a = 1, b = 2, c = 1.
Подставим их в формулу дискриминанта:
D = 22 - 4·1·1 = 4 - 4 = 0
Значит, уравнение имеет 1 корень.
Формулы корней через дискриминант
Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант имеет вид:
где:
- x1 и x2 - корни уравнения
- a, b - коэффициенты уравнения
- D - дискриминант
Для полного квадратного уравнения эта формула дает точные значения корней. А для неполного уравнения один из корней получается равным нулю.
Пример
Найдем корни уравнения 2x2 - 4x + 2 = 0.
Коэффициенты: a = 2, b = -4, c = 2. Вычислим дискриминант:
D = (-4)2 - 4·2·2 = 16 - 16 = 0
Подставим значения в формулу корней:
x1,2 = (-(-4) ± √0) / (2·2) = 2
Получился один корень x = 2.
Формула корней дискриминанта через k
Если в уравнении коэффициент b кратен двум, то формулу корней можно записать через вспомогательную переменную k:
Здесь b = 2·k, поэтому выражение под корнем упрощается.
Применение дискриминанта в экономике
Квадратичные модели широко используются в экономике для описания различных процессов. Например, зависимость прибыли фирмы от объема производства часто описывается квадратичной функцией.
Анализируя дискриминант такой модели, можно определить точку безубыточности и точку максимальной прибыли.
История открытия формулы дискриминанта
Первые упоминания о решении квадратных уравнений относятся еще к Вавилонским математическим табличкам около 2000 года до н.э. Однако там не сохранились записи вывода используемых формул.
Впервые формула дискриминанта появляется в трудах индийского математика Брахмагупты в 7 веке нашей эры.
Открытые вопросы теории квадратичных уравнений
Несмотря на длительную историю, теория квадратных уравнений до сих пор не лишена открытых вопросов. Например, до конца не ясна природа дискриминанта и возможность обобщения этого понятия.
А что если попробовать построить кубические и степенные уравнения, тоже опираясь на некий аналог дискриминанта?
Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Одно из важных применений теории квадратичных уравнений - это решение прикладных задач, в том числе текстовых.
Рассмотрим классическую задачу.
Катер проплыл по реке 72 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. На обратный путь катер затратил на 2 часа больше. Найдите собственную скорость катера.
Для решения составим квадратное уравнение. Пусть V - скорость катера. Тогда на первый путь он затратил 72/(V+2) часов, а на обратный - (72/(V-2) + 2) часов. Приравняем:
Решив его, получим V = 12 км/ч.
Моделирование физических процессов с помощью квадратичных функций
Многие физические процессы также можно описывать квадратичными зависимостями.
Например, высота подъема тела, брошенного вертикально вверх, определяется формулой:
h = -4.9t^2 + v0*t + h0,
где v0 - начальная скорость, h0 - начальная высота, t - время.
Анализируя дискриминант этого уравнения, можно найти время и высоту достижения максимальной точки траектории.
Оптимизация производства с использованием квадратичных моделей
На практике часто нужно максимизировать или минимизировать некоторую величину, зависящую от управляемого параметра. Если эта зависимость квадратична, то оптимальное значение параметра можно найти приравниванием к нулю первой производной функции.
Например, для максимизации прибыли фирмы это позволит определить оптимальный объем производства.
Прогнозирование экономических показателей на основе квадратичных моделей
Используя квадратичную аппроксимацию трендов экономических показателей, можно строить прогнозы на будущее.
При этом анализ дискриминанта и расположения вершины параболы позволяет понять характер ожидаемой динамики: рост, спад, стабилизация.
Пошаговый алгоритм применения дискриминанта для решения квадратных уравнений
Чтобы гарантированно найти все корни квадратного уравнения с использованием дискриминанта, можно придерживаться следующего алгоритма:
- Записать уравнение в виде ax2 + bx + c = 0
- Найти коэффициенты a, b и c
- Вычислить дискриминант по формуле D = b2 - 4ac
- Проанализировать знак дискриминанта:
- D > 0 — есть 2 корня D = 0 — есть 1 корень D < 0 — корней нет
- При D ≥ 0 найти корни по формуле x = (-b ± √D) / 2a
Строгое следование этим шагам избавит от ошибок и позволит полностью решить уравнение.
Рекомендации по применению дискриминанта в оптимизационных задачах
Часто оптимизационные задачи сводятся к нахождению экстремумов (минимумов или максимумов) некоторой функции. Если эта функция описывается квадратичной зависимостью, то экстремумы можно найти, приравняв нулю ее производную и решив соответствующее квадратное уравнение.
При этом анализ дискриминанта позволит определить, есть ли вообще экстремум функции на заданном промежутке. А расположение найденных корней укажет, являются ли они минимумом или максимумом.
Роль Брахмагупты в истории открытия дискриминанта
Как уже отмечалось, впервые запись формулы для вычисления дискриминанта появляется в трудах индийского математика Брахмагупты в 7 веке нашей эры.
Хотя квадратные уравнения решались и ранее, Брахмагупта впервые в явном виде использует это понятие и систематизирует правила работы с ним.
Таким образом, вклад Брахмагупты в становление теории квадратичных уравнений трудно переоценить.
Возможные направления обобщения дискриминанта на более сложные уравнения
В статье уже упоминался открытый вопрос о возможном обобщении понятия дискриминанта на случай уравнений степени выше второй.
Один из подходов состоит в том, чтобы рассмотреть разность между количеством корней и степенью многочлена. Изучение свойств этой разности может пролить свет на природу дискриминанта.
Другой подход - попытаться непосредственно описать множество корней уравнения некоторой характеристической функцией. Возможно, для нее удастся получить аналитические формулы, обобщающие дискриминант.
