Степень - одна из важнейших операций в математике. В этой статье мы разберем, что такое степень числа с натуральным показателем, ее определение и основные свойства. Узнаем полезные формулы и решим примеры. Это поможет быстрее считать и избежать ошибок на уроках математики и экзамене.
Определение степени с натуральным показателем
Понятие "степень числа" впервые появилось в трудах древнегреческого математика Диофанта в 3 веке нашей эры. Он использовал буквенные обозначения и показатели степени для записи многократного умножения одного и того же числа.
Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a.
Где a - основание степени, а n - показатель степени. Например:
- 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32,
- 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Здесь 2 и 3 - основания степеней, а 5 и 4 - показатели.
Особые случаи:
- При n = 0 получаем a0 = 1, кроме 00
- При n = 1 имеем a1 = a
- Из отрицательного основания при четном показателе получается положительное число: (-2)2 = 4
- Из отрицательного основания при нечетном показателе получается отрицательное число: (-3)3 = -27
Степени удобно применять при длинных однотипных вычислениях. Например, чтобы найти произведение 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 гораздо проще записать 28.
Свойства степени с натуральным показателем
Рассмотрим основные свойства степени с натуральным показателем:
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются
- Степень степени = основание в степени произведения показателей
- Степень произведения = произведение степеней
- Степень частного = частное степеней
Докажем, например, свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Пусть даны степени am и an. Тогда:
am · an = a · a · ... · a (m раз) · a · a · ... · a (n раз) = a · a · ... · a (m + n раз) = am+n
Аналогично можно доказать и другие свойства.
Найдем с помощью свойств степени значение выражения: (23)2 · 56
Решение:
(23)2 · 56 = 26 · 56 (степень степени) = 212 (умножение одинаковых степеней) = 4096
Рассмотрим подробнее свойства умножения и деления одинаковых степеней.
Свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковым основанием a и показателями m и n получаем:
am · an = am+n
Например:
- 23 · 25 = 23+5 = 28 = 256
- (-2)3 · (-2)2 = (-2)3+2 = (-2)5 = -32
Это свойство позволяет быстро перемножать одинаковые степени, не вычисляя каждую в отдельности.
Свойства деления степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковым основанием a и показателями m и n получаем:
am / an = am-n
Например:
- 25 / 23 = 25-3 = 22 = 4
- (x2)5 / (x2)3 = (x2)5-3 = (x2)2 = x4
Это свойство используется для упрощения дробей, содержащих одинаковые степени в числителе и знаменателе.
Таким образом, знание и правильное применение свойств степени позволяет значительно упростить многие вычисления и решение задач с использованием степеней.
Возведение в степень произведения и частного
Рассмотрим еще два полезных свойства степени с натуральным показателем.
При возведении в степень произведения, каждый множитель возводится в эту степень, а затем результаты перемножаются:
(a · b)n = an · bn
Например:
(2 · 3)3 = 23 · 33 = 8 · 27 = 216
Аналогично, при возведении в степень частного каждое число возводится в эту степень, а затем результаты делятся:
(a / b)n = an / bn
Например:
(3 / 2)2 = 32 / 22 = 9 / 4 = 2,25
Применение свойств степени для упрощения выражений
Рассмотрим несколько примеров применения свойств степени для упрощения выражений:
Пример 1: Упростите выражение 3x5 · 9x7
Решение:
3x5 · 9x7 = (3 · 9)x5+7 = 27x12
Пример 2: Упростите выражение (x3)4 / (x5)2
Решение:
(x3)4 / (x5)2 = x12 / x10 = x2
Пример 3: Вычислите (2a)2 · (4a3)4
Решение:
(2a)2 · (4a3)4 = 4a2 · 256a12 = 1024a14
Степени в решении задач
Степени часто используются при решении прикладных задач. Рассмотрим несколько примеров:
Задача 1. Камень брошен в воду. Каждую секунду размер кругов на воде удваивается. Через 5 секунд радиус кругов достиг 1 метра. Каков был первоначальный радиус?
Решение: Пусть R - первоначальный радиус. Тогда через 5 секунд радиус станет R · 25 = 1 м. Отсюда R = 1 / 25 = 0,03125 м.
Задача 2. На вклад под 12% годовых положили 300 000 рублей. Через сколько лет вклад достигнет суммы больше 1 миллиона рублей?
Решение: Пусть n - число лет. Тогда через n лет вклад составит 300000 · 1,12n. Приравняв это выражение к 1 000 000, получим n = 5 лет.
Степени в геометрии
Степени с натуральным показателем часто применяются в геометрических вычислениях. Например, площадь квадрата со стороной a равна S = a2. Объем куба с ребром a равен V = a3.
Для вычисления длин, площадей и объемов различных геометрических фигур используются формулы, содержащие степени. Знание свойств степени позволяет эффективно преобразовывать такие формулы.
Подготовка к ОГЭ по математике
При подготовке к ОГЭ нужно хорошо знать свойства степени и уметь их применять при решении задач.
Рассмотрим примеры типовых заданий по теме "Степень" в ОГЭ:
- Упростите выражение: (a3)2 · a5
- Решите уравнение: x2 - 4x - 12 = 0
- Найдите значение выражения: (2x - 3y)2, при x = 2, y = 1
Для решения таких заданий нужно владеть свойствами степени, уметь применять формулы сокращенного умножения, решать квадратные уравнения.
Подготовка к ЕГЭ
В ЕГЭ встречаются более сложные задания на применение свойств степени:
- Решите неравенство: (x + 5)2 > x2 + 10x + 25
- Решите уравнение: log4(x - 2) + log4(x + 2) = 3
Здесь потребуются навыки решения неравенств и уравнений, содержащих степени и логарифмы. Нужно уметь быстро выполнять преобразования выражений со степенями.
Интересные факты о степенях
Некоторые интересные исторические факты о степенях:
- Степени с отрицательными и дробными показателями впервые ввел Исаак Ньютон в 17 веке.
- Знаменитая константа e была впервые введена Якобом Бернулли как предел последовательности (1 + 1/n)n при стремлении n к бесконечности.
Выдающийся математик Карл Фридрих Гаусс сказал: "Математика - царица наук, а теория чисел - королева математики". А степени являются важной частью теории чисел.
