Правильные многогранники: элементы, симметрия и площадь

Геометрия прекрасна тем, что, в отличие от алгебры, где не всегда понятно, что и зачем считаешь, дает наглядность объекта. Этот удивительный мир различных тел украшают собой правильные многогранники.

Общие сведения о правильных многогранниках

По мнению многих, правильные многогранники, или как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр - четырехгранный, гексаэдр - шестигранный, октаэдр - восьмигранный, додекаэдр – двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.

Обобщение понятия многогранника

Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что:

• каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
• от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны - ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. Выпуклым многогранником называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.

Другое определение многогранника и его элементов

Многогранником называют поверхность, состоящую из многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают:

• невыпуклыми;
• выпуклыми (правильные и неправильные).

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:

• тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
• гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
• додекаэдр: 30, 12, 20;
• октаэдр: 12, 8, 6;
• икосаэдр: 30, 20, 12.

Теорема Эйлера

Она устанавливает связь между числом ребер, вершин и граней, топологически эквивалентных сфере. Складывая количество вершин и граней (В + Г) у различных правильных многогранников и сравнивая их с количеством ребер, можно установить одну закономерность: сумма количества граней и вершин равняется числу ребер (Р), увеличенному на 2. Можно вывести простую формулу:

• В + Г = Р + 2.

Эта формула верна для всех выпуклых многогранников.

Основные определения

Понятие правильного многогранника невозможно описать одним предложением. Оно более многозначное и объемное. Чтобы тело было признано таковым, необходимо, чтобы оно отвечало ряду определений. Так, геометрическое тело будет являться правильным многогранником при выполнении таких условий:

• оно выпуклое;
• одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин;
• все грани его - правильные многоугольники, равные друг другу;
• все двугранные углы его равны.

Свойства правильных многогранников

Существует 5 разных типов правильных многогранников:

1. Куб (гексаэдр) - у него плоский угол при вершине составляет 90°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 270°.
2. Тетраэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 180°.
3. Октаэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 4-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 240°.
4. Додекаэдр - плоский угол при вершине 108°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 324°.
5. Икосаэдр - у него плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 5-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 300°.

Площадь правильных многогранников

Площадь поверхности этих геометрических тел (S) вычисляется, как площадь правильного многоугольника, умноженная на количество его граней (G):

• S = (a : 2) х 2G ctg π/p.

Объем правильного многогранника

Эта величина вычисляется путем умножения объема правильной пирамиды, в основании которой находится правильный многоугольник, на число граней, а высота ее является радиусом вписанной сферы (r):

• V = 1 : 3rS.

Объемы правильных многогранников

Как и любое другое геометрическое тело, правильные многогранники имеют различные объемы. Ниже представлены формулы, по которым можно их вычислить:

• тетраэдр: α х 3√2 : 12;
• октаэдр: α х 3√2 : 3;
• икосаэдр; α х 3;
• гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5) : 12;
• додекаэдр: α х 3 (15 + 7√5) : 4.

Элементы правильных многогранников

Гексаэдр и октаэдр являются дуальными геометрическими телами. Иными словами, они могут получиться друг из друга в том случае, если центр тяжести грани одного принимается за вершину другого, и наоборот. Также дуальными являются икосаэдр и додекаэдр. Сам себе дуален только тетраэдр. По способу Евклида можно получить додекаэдр из гексаэдра с помощью построения «крыш» на гранях куба. Вершинами тетраэдра будут любые 4 вершины куба, не смежные попарно по ребру. Из гексаэдра (куба) можно получить и другие правильные многогранники. Несмотря на то что правильных многоугольников есть бесчисленное множество, правильных многогранников существует всего 5.

Радиусы правильных многоугольников

С каждым из этих геометрических тел связаны 3 концентрические сферы:

• описанная, проходящая через его вершины;
• вписанная, касающаяся каждой его грани в центре ее;
• срединная, касающаяся всех ребер в середине.

Радиус сферы описанной рассчитывается по такой формуле:

• R = a : 2 х tg π/g х tg θ : 2.

Радиус сферы вписанной вычисляется по формуле:

• R = a : 2 х ctg π/p х tg θ : 2,

где θ - двухгранный угол, который находится между смежными гранями.

Радиус сферы срединной можно вычислить по следующей формуле:

• ρ = a cos π/p : 2 sin π/h,

где h величина = 4,6 ,6,10 или 10. Отношение описанных и вписанных радиусов симметрично относительно p и q. Оно рассчитывается по формуле:

• R/r = tg π/p х tg π/q.

Симметрия многогранников

Симметрия правильных многогранников вызывает основной интерес к этим геометрическим телам. Под ней понимают такое движение тела в пространстве, которое оставляет одно и то же количество вершин, граней и ребер. Другими словами, под действием преобразования симметрии ребро, вершина, грань или сохраняет свое первоначальное положение, или перемещается в исходное положение другого ребра, другой вершины или грани.

Элементы симметрии правильных многогранников свойственны всем видам таких геометрических тел. Здесь речь ведется о тождественном преобразовании, которое оставляет любую из точек в исходном положении. Так, при повороте многоугольной призмы можно получить несколько симметрий. Любая из них может быть представлена как произведение отражений. Симметрию, которая является произведением четного количества отражений, называют прямой. Если же она является произведением нечетного количества отражений, то ее называют обратной. Таким образом, все повороты вокруг прямой представляют собой прямую симметрию. Любое отражение многогранника - это обратная симметрия.

Чтобы лучше разобраться в элементах симметрии правильных многогранников, можно взять пример тетраэдра. Любая прямая, которая будет проходить через одну из вершин и центр этой геометрической фигуры, будет проходить и через центр грани, противоположной ей. Каждый из поворотов на 120 и 240° вокруг прямой принадлежит к множественному числу симметрий тетраэдра. Поскольку у него по 4 вершины и грани, то получается всего восемь прямых симметрий. Любая из прямых, проходящих через середину ребра и центр этого тела, проходит через середину его противоположного ребра. Любой поворот на 180°, называемый полуоборотом, вокруг прямой является симметрией. Поскольку у тетраэдра есть три пары ребер, то получится еще три прямые симметрии. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что общее число прямых симметрий, и в том числе тождественное преобразование, будет доходить до двенадцати. Других прямых симметрий у тетраэдра не существует, но при этом у него есть 12 обратных симметрий. Следовательно, тетраэдр характеризуется всего 24 симметриями. Для наглядности можно построить модель правильного тетраэдра из картона и убедиться, что это геометрическое тело действительно имеет всего 24 симметрии.

Додекаэдр и икосаэдр - наиболее близкие к сфере тела. Икосаэдр обладает наибольшим числом граней, наибольшим двугранным углом и плотнее всего может прижаться к вписанной сфере. Додекаэдр обладает наименьшим угловым дефектом, наибольшим телесным углом при вершине. Он может максимально заполнить свою описанную сферу.

Развертки многогранников

Правильные многогранники развертки, которых мы все склеивали в детстве, имеют много понятий. Если есть совокупность многоугольников, каждая сторона которых отождествлена с только одной стороной многогранника, то отождествление сторон должно соответствовать двум условиям:

• от каждого многоугольника можно перейти по многоугольникам, имеющим отождествленную сторону;
• отождествляемые стороны должны иметь одинаковую длину.

Именно совокупность многоугольников, которые удовлетворяют эти условия, и называется разверткой многогранника. Каждое из этих тел имеет их несколько. Так, например, у куба их насчитывается 11 штук.