Вычисление угла между прямыми на плоскости и в пространстве: формула

Типичной геометрической задачей является нахождение угла между прямыми. На плоскости, если известны уравнения прямых, их можно начертить и измерить угол транспортиром. Однако этот способ трудоемок и не всегда возможен. Чтобы узнать названный угол, не обязательно изображать прямые, его можно вычислить. Как это делается, ответит данная статья.

Прямая и ее векторное уравнение

Всякую прямую можно представить в виде вектора, который начинается в -∞ и заканчивается в +∞. При этом вектор проходит через некоторую точку пространства. Таким образом, все вектора, которые можно начертить между двумя любыми точками прямой, будут параллельны друг другу. Это определение позволяет задать уравнение прямой в векторном виде:

(x; y; z) = (x₀; y₀; z₀) + α*(a; b; c)

Здесь вектор с координатами (a; b; c) является направляющим для этой прямой, проходящей через точку (x₀; y₀; z₀). Параметр α позволяет переводить указанную точку в любую другую для этой прямой. Это уравнение интуитивно понятно, и с ним легко работать как в трехмерном пространстве, так и на плоскости. Для плоскости оно не будет содержать координаты z и третьей компоненты направляющего вектора.

Удобство выполнения расчетов и изучения взаимного положения прямых благодаря использованию векторного уравнения связано с тем, что известен ее направляющий вектор. Его координаты применяются для вычисления угла между прямыми и расстояния между ними.

Общее уравнение для прямой на плоскости

Запишем в явном виде векторное уравнение прямой для двумерного случая. Оно имеет вид:

x = x₀ + α*a;

y = y₀ + α*b

Теперь рассчитаем для каждого равенства параметр α и приравняем правые части полученных равенств:

α = (x - x₀)/a;

α = (y - y₀)/b;

(x - x₀)/a = (y - y₀)/b

Раскрывая скобки и перенося все члены в одну сторону равенства, получаем:

1/a*x +(-1/b)*y+y₀/b- x₀/a = 0 =>

A*x + B*y + C = 0, где A = 1/a, B = -1/b, C = y₀/b- x₀/a

Полученное выражение называется общим уравнением для прямой, заданной в двумерном пространстве (в трехмерном это уравнение соответствует параллельной оси z плоскости, а не прямой).

Если в этом выражении явно записать y через x, то получится следующий вид, известный каждому школьнику:

y = k*x + p, где k = -A/B, p = -C/B

Это линейное уравнение однозначно задает на плоскости прямую. Начертить ее по известному уравнению очень просто, для этого следует по очереди положить x = 0 и y = 0, отметить соответствующие точки в системе координат и провести прямую, соединив полученные точки.

Формула угла между прямыми

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными друг другу. В пространстве к этим вариантам добавляется также еще возможность существования скрещивающихся прямых. Какой бы вариант взаимного положения этих одномерных геометрических объектов не был реализован, угол между ними всегда можно определить по следующей формуле:

φ = arccos(|(v₁¯*v₂¯)|/(|v₁¯|*|v₂¯|))

Где v₁¯ и v₂¯ - это векторы направляющие для прямой 1 и 2 соответственно. В числителе стоит модуль скалярного произведения, чтобы исключить тупые углы и учитывать только острые.

Вектора v₁¯ и v₂¯ могут быть заданы двумя или тремя координатами, формула для угла φ при этом остается неизменной.

Параллельность и перпендикулярность прямых

Если рассчитанный по формуле выше угол между 2 прямыми равен 0^o, то говорят, что они являются параллельными. Чтобы определить, будут прямые параллельными или нет, можно не вычислять угол φ, достаточно показать, что один направляющий вектор может быть представлен через аналогичный вектор другой прямой, то есть:

v₁¯ = q*v₂¯

Здесь q - некоторое действительное число.

Если уравнения прямых заданы в виде:

y = k₁*x + p_1,

y = k₂*x + p_2,

то параллельными они будут только тогда, когда равны коэффициенты при x, то есть:

k₁ = k₂

Доказать этот факт можно, если рассмотреть, как выражается коэффициент k через координаты направляющего вектора прямой.

Если угол пересечения между прямыми равен 90^o, тогда они называются перпендикулярными. Для определения перпендикулярности прямых также не обязательно вычислять угол φ, для этого достаточно рассчитать лишь скалярное произведение векторов v₁¯ и v₂¯. Оно должно быть равно нулю.

В случае скрещивающихся прямых в пространстве формулой для угла φ тоже можно пользоваться. При этом следует правильно интерпретировать полученный результат. Вычисленный φ показывает величину угла между направляющими векторами прямых, которые не пересекаются и не являются параллельными.

Задача №1. Перпендикулярные прямые

Известно, что уравнения прямых имеют вид:

(x; y) = (1; 2) + α*(1; 2);

(x; y) = (-4; 7) + β*(-4; 2)

Необходимо определить, являются ли эти прямые перпендикулярными.

Как было сказано выше, для ответа на вопрос достаточно провести расчет скалярного произведения векторов направляющих, которым соответствуют координаты (1; 2) и (-4; 2). Имеем:

(1; 2)*(-4; 2) = 1*(-4) + 2*2 = 0

Поскольку мы получили 0, то это означает, что рассматриваемые прямые пересекаются под прямым углом, то есть являются перпендикулярными.

Задача №2. Угол пересечения прямых

Известно, что два уравнения для прямых имеют следующий вид:

y = 2*x - 1;

y = -x + 3

Необходимо найти угол между прямыми.

Поскольку коэффициенты при x имеют разную величину, то эти прямые не являются параллельными. Чтобы найти угол, который образуется при их пересечении, переведем каждое из уравнений в векторный вид.

Для первой прямой получаем:

(x; y) = (x; 2*x - 1)

В правой части равенства мы получили вектор, координаты которого зависят от x. Представим его в виде суммы двух векторов, причем координаты первого будут содержать переменную x, а координаты второго будут состоять исключительно из чисел:

(x; y) = (x; 2*x) + (0; - 1) = x*(1; 2) + (0; - 1)

Поскольку x принимает произвольные значения, то его можно заменить на параметр α. Векторное уравнение для первой прямой принимает вид:

(x; y) = (0; - 1) + α*(1; 2)

Те же самые действия проделываем со вторым уравнением прямой, получаем:

(x; y) = (x; -x + 3) = (x; -x) + (0; 3) = x*(1; -1) + (0; 3) =>

(x; y) = (0; 3) + β*(1; -1)

Мы переписали в векторном виде исходные уравнения. Теперь можно воспользоваться формулой для угла пересечения, подставляя в нее координаты направляющих векторов прямых:

(1; 2)*(1; -1) = -1;

|(1; 2)| = √5;

|(1; -1)| = √2;

φ = arccos(|-1|/(√5*√2)) = 71,565^o

Таким образом, рассматриваемые прямые пересекаются под углом 71,565^o, или 1,249 радиан.

Эту задачу можно было решить иначе. Для этого следовало взять две произвольные точки каждой прямой, составить из них направляющие вектора, а затем воспользоваться формулой для φ.