Для определения параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также для расчета расстояний между этими геометрическими объектами, удобно пользоваться тем или иным видом числовых функций. Для каких задач удобно использовать уравнение плоскости в отрезках? В данной статье рассмотрим, что это и как использовать в практических заданиях.
Что собой представляет уравнение в отрезках?
Плоскость можно задать в трехмерном пространстве несколькими способами. В данной статье некоторые из них будут приведены во время решения задач различного типа. Здесь же дадим подробную характеристику уравнению в отрезках плоскости. Оно в общем случае имеет следующий вид:
x/p + y/q + z/r = 1.
Где символами p, q, r обозначены некоторые конкретные числа. Это уравнение можно легко перевести в выражение общего вида и в другие формы числовых функций для плоскости.
Удобство записи уравнения в отрезках заключается в том, что оно содержит явные координаты пересечения плоскости с перпендикулярными осями координат. На оси x относительно начала координат плоскость отсекает отрезок длиною p, на оси y - равную q, на z - длиною r.
Если какой-либо из трех переменных не содержится в уравнении, то это означает, что через соответствующую ось плоскость не проходит (математики говорят, что пересекает в бесконечности).
Далее приведем несколько задач, в которых покажем, как работать с этим уравнением.
Связь общего и в отрезках уравнений
Известно, что плоскость задана следующим равенством:
2*x - 3*y + z - 6 = 0.
Необходимо это общее уравнение плоскости в отрезках записать.
Когда возникает подобная задача, нужно следовать такой методике: переносим свободный член в правую часть равенства. Затем делим на этот член все уравнение, стремясь его выразить в виде, приведенном в предыдущем пункте. Имеем:
2*x - 3*y + z = 6 =>
2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>
x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.
Мы получили в отрезках уравнение плоскости, заданное изначально в общем виде. Заметно, что плоскость отсекает отрезки с длинами 3, 2 и 6 для осей x, y и z соответственно. Ось y плоскость пересекает в отрицательной области координат.
При составлении уравнения в отрезках важно, чтобы перед всеми переменными стоял знак "+". Только в этом случае число, на которое эта переменная делится, покажет отсекаемую на оси координату.
Нормальный вектор и точка на плоскости
Известно, что некоторая плоскость имеет направляющий вектор (3; 0; -1). Также известно, что она проходит через точку (1; 1; 1). Следует для этой плоскости написать уравнение в отрезках.
Чтобы решить эту задачу, следует для начала воспользоваться общей формой для этого двумерного геометрического объекта. Общая форма записывается в виде:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Три первых коэффициента являются здесь координатами вектора направляющего, который задан в условии задачи, то есть:
A = 3;
B = 0;
C = -1.
Остается найти свободный член D. Его определить можно по такой формуле:
D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z1).
Где значения координат с индексом 1 соответствуют координатам точки, принадлежащей плоскости. Подставляем их значения из условия задачи, получаем:
D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.
Теперь можно записать полностью уравнение:
3*x - z - 2 = 0.
Выше уже была продемонстрирована методика преобразования этого выражения в уравнение в отрезках плоскости. Применим ее:
3*x - z = 2 =>
x/(2/3) + z/(-2) = 1.
Ответ на задачу получен. Заметим, что данная плоскость пересекает только x и z оси. Для y она параллельна.
Две прямые, задающие плоскость
Из курса пространственной геометрии каждый школьник знает, что две произвольные прямые задают однозначно плоскость в пространстве трехмерном. Решим подобную задачу.
Известны два уравнения прямых:
(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);
(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).
Нужно записать в отрезках уравнение плоскости, через прямые эти проходящей.
Так как обе прямые должны лежать в плоскости, то это означает, что их вектора (направляющие) должны быть перпендикулярны вектору (направляющему) для плоскости. В то же время известно, что векторное произведение произвольных двух направленных отрезков дает результат в виде координат третьего, перпендикулярного двум исходным. Учитывая это свойство, получаем координаты нормального к искомой плоскости вектора:
[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).
Поскольку его можно умножать на произвольное число, при этом образуется новый направленный отрезок, параллельный исходному, то можно знак полученных координат заменить на противоположный (умножить на -1), получим:
(1; 2; 1).
Нам известен направляющий вектор. Остается взять произвольную точку одной из прямых и составить общее уравнение плоскости:
A = 1;
B = 2;
C = 1;
D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;
x + 2*y + z -1 = 0.
Переводим это равенство в выражение в отрезках, получаем:
x + 2*y + z = 1 =>
x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.
Таким образом, плоскость пересекает все три оси в положительной области координатной системы.
Три точки и плоскость
Так же как две прямые, три точки задают плоскость однозначно в трехмерном пространстве. Запишем соответствующее уравнение в отрезках, если известны следующие координаты точек, лежащих в плоскости:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Поступим следующим образом: вычислим координаты двух произвольных векторов, соединяющих эти точки, затем, найдем нормальный к плоскости вектор n¯, рассчитав произведение найденных направленных отрезков. Получаем:
QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);
QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);
n¯ = [QP¯*QM¯] = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).
Возьмем для примера точку P, составим уравнение плоскости:
A = 0;
B = 0;
C = 6;
D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;
6*z = 0 или z = 0.
Мы получили простое выражение, которое соответствует плоскости xy в данной прямоугольной системе координат. Записать его в отрезках нельзя, поскольку оси x и y принадлежат плоскости, а длина отсекаемого на оси z отрезка равна нулю (точка (0; 0; 0) принадлежит плоскости).
