Что такое тангенциальное ускорение? Формулы, пример задачи

Движение - это одно из важных свойств вещества в нашей Вселенной. Действительно, даже при абсолютном нуле температур перемещение частиц материи не прекращается полностью. В физике движение описывается рядом параметров, основным из которых является ускорение. В данной статье мы раскроем подробнее вопрос касательно того, что представляет собой ускорение тангенциальное и как его рассчитывать.

Ускорение в физике

Под ускорением понимают быстроту, с которой изменяется скорость тела во время его перемещения. Математически это определение записывают так:

a¯ = d v¯/ d t

Это кинематическое определение ускорения. Из формулы видно, что вычисляется оно в метрах в квадратную секунду (м/с²). Ускорение - это векторная характеристика. Направление его ничего общего с направлением скорости не имеет. Направлено ускорение в сторону изменения скорости. Очевидно, что в случае равномерного движения по прямой линии не существует никакого изменения скорости, поэтому ускорение равно нулю.

Если говорить об ускорении как о величине динамики, то следует вспомнить закон Ньютона:

F¯ = m × a¯ =>

a¯ = F¯ / m

Причиной возникновения величины a¯ является действующая на тело сила F¯. Поскольку масса m - это величина скалярная, то ускорение направлено в сторону действия силы.

Траектория движения и полное ускорение

Говоря об ускорении, скорости и пройденном пути, следует не забывать еще об одной важной характеристике любого движения - траектории. Под ней понимают воображаемую линию, по которой движется изучаемое тело. В общем случае она может быть кривой или прямой. Самой распространенной кривой траекторией является окружность.

Предположим, что тело движется по кривой траектории. При этом его скорость изменяется по некоторому закону v = v (t). В любой точке траектории скорость направлена по касательной к ней. Выразить скорость можно как произведение ее модуля v на элементарный вектор u¯. Тогда для ускорения получим:

v¯ = v × u¯;

a¯ = d v¯/ d t = d (v × u¯) / d t

Применяя правило вычисления производной от произведения функций, получаем:

a¯ = d (v × u¯) / d t = d v / d t × u¯ + v × d u¯ / d t

Таким образом, полное ускорение a¯ при движении по кривой траектории раскладывается на две составляющие. В данной статье мы рассмотрим подробно лишь первое слагаемое, которое называется тангенциальным ускорением точки. Что касается второго слагаемого, то лишь скажем, что оно называется нормальным ускорением и направлено к центру кривизны.

Тангенциальное ускорение

Обозначим эту компоненту полного ускорения символом a_t¯. Запишем еще раз формулу тангенциального ускорения:

a_t¯ = d v / d t × u¯

О чем говорит это равенство? Во-первых, компонента a_t¯ характеризует изменение абсолютного значения скорости, не принимая во внимание ее направление. Так, в процессе движения вектор скорости может быть постоянным (прямолинейным) или же постоянно изменяться (криволинейным), но если при этом модуль скорости остается неизменным, то a_t¯ будет равно нулю.

Во-вторых, тангенциальное ускорение направлено точно так же, как вектор скорости. Этот факт подтверждается наличием в записанной выше формуле множителя в виде элементарного вектора u¯. Так как u¯ направлен по касательной к траектории, то компоненту a_t¯ часто называют касательным ускорением.

Исходя из определения касательного ускорения, можно сделать вывод: величины a¯ и a_t¯ совпадают всегда в случае прямолинейного перемещения тел.

Касательное и угловое ускорение при движении по окружности

Выше мы выяснили, что движение по любой криволинейной траектории приводит к появлению двух компонент ускорения. Одним из видов движения по кривой линии является вращение тел и материальных точек по окружности. Такой тип перемещения удобно описывать угловыми характеристиками, такими как угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота.

Под угловым ускорением α понимают величину изменения скорости угловой ω:

α = d ω / d t

Угловое ускорение приводит к увеличению частоты вращения. Очевидно, что при этом возрастает линейная скорость каждой точки, которая участвует во вращении. Поэтому должно существовать выражение, которое связывает угловое и тангенциальное ускорение. Не будем вдаваться в подробности вывода этого выражения, а приведем его сразу:

a_t = α × r

Величины a_t и α прямо пропорциональны друг другу. Кроме того, a_t увеличивается с возрастанием дистанции r от оси вращения до рассматриваемой точки. Именно поэтому при вращении удобно использовать α, а не a_t (α от радиуса вращения r не зависит).

Пример задачи

Известно, что материальная точка вращается вокруг оси радиусом 0,5 метра. Ее угловая скорость при этом изменяется по следующему закону:

ω = 4 × t + t² + 3

Необходимо определить, с каким тангенциальным ускорением точка будет вращаться в момент времени 3,5 секунды.

Для решения данной задачи следует воспользоваться сначала формулой для углового ускорения. Имеем:

α = d ω / d t = 2 × t + 4

Теперь следует применить равенство, которое связывает величины a_t и α, получаем:

a_t = α × r = t + 2

При записи последнего выражения мы подставили значение r = 0,5 м из условия. В итоге мы получили формулу, согласно которой тангенциальное ускорение зависит от времени. Такое движение по окружности не является равноускоренным. Для получения ответа на задачу осталось подставить известный момент времени. Получаем ответ: a_t = 5,5 м/с².