Параллелограмм - одна из самых распространенных геометрических фигур. Казалось бы, найти его стороны, зная лишь периметр, невозможно. Однако в этой статье мы рассмотрим нестандартные методы решения такой задачи.
Свойства параллелограмма, полезные для нахождения сторон
Прежде чем приступать к решению задачи, давайте вспомним определение параллелограмма и его основные свойства:
- Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются в точке пересечения пополам.
Кроме того, важной теоремой является утверждение о том, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Это поможет нам найти углы, если известны стороны.
Также пригодится формула, связывающая стороны параллелограмма a и b с его диагоналями d1 и d2:
И наконец, через высоту h, проведенную к стороне b, и угол α при этой стороне можно найти вторую сторону по формуле:
Нахождение сторон параллелограмма по периметру
Итак, допустим, у нас есть параллелограмм, периметр которого равен P. Нам нужно найти его стороны. Обозначим стороны через a и b. Тогда можно записать:
P = 2(a + b)
Это уравнение с двумя неизвестными. Чтобы найти стороны, нужна дополнительная информация.
Нахождение сторон через диагонали
Если известны диагонали d1 и d2, можно воспользоваться формулой:
Найдя одну сторону, подставляем в уравнение периметра и находим вторую.
Нахождение сторон через углы и высоты
А если дан высота h, проведенная к стороне b, и угол α при этой стороне, применим формулу:
Дальше так же подставляем найденное значение стороны в уравнение для периметра.
Пример 1. Нахождение сторон через диагонали
Дан параллелограмм с диагоналями d1 = 16 см и d2 = 10 см. Периметр параллелограмма равен 40 см. Требуется найти стороны a и b.
Решение:
- По формуле для вычисления стороны через диагонали:
- Подставляя значения диагоналей, получаем: a = 8 см
- Из уравнения для периметра: P = 2(a + b) = 40 см
- Подставляем найденное значение стороны а: 2(8 + b) = 40 16 + 2b = 40 2b = 24 b = 12 см
Ответ: a = 8 см, b = 12 см.
Пример 2. Нахождение сторон через высоту и угол
Высота параллелограмма равна h = 5 см. Она проведена к стороне b. Угол α при стороне b равен 30°. Периметр параллелограмма равен 34 см. Найти стороны.
Решение:
- По формуле для вычисления стороны через высоту и угол:
- Подставляем значения:
- Из уравнения периметра: P = 2(a + 5) = 34 см
- Решаем это уравнение относительно а: 2a + 10 = 34 2a = 24 a = 12 см
Ответ: a = 12 см, b = 5 см.
