Порядок выполнения арифметических действий в математических выражениях имеет важное значение. От того, в какой последовательности выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления, зависит конечный результат. Давайте разберемся, что делается первым - умножение или сложение в примерах без скобок и со скобками.
Приоритет операций в математике
В математике принято считать, что умножение и деление имеют более высокий приоритет по сравнению со сложением и вычитанием. Это означает, что в выражениях без скобок что первое сложение или умножение всегда выполняется в первую очередь. Рассмотрим пример:
2 + 3 × 5 = ?
Здесь сначала нужно выполнить умножение 3 × 5 = 15, а затем сложение 2 + 15 = 17. Если поменять порядок действий, то получится неправильный ответ: 2 + 3 = 5, 5 × 5 = 25.
Таким образом, что первое в примере умножение или сложение без скобок однозначно - сначала идет умножение слева направо, затем сложение слева направо.
Правило порядка действий
Общее правило порядка выполнения арифметических действий в выражениях без скобок можно сформулировать так:
- Выполняются операции умножения и деления слева направо;
- Выполняются операции сложения и вычитания слева направо.
Это связано с тем, что умножение и деление считаются операциями более высокого порядка. Поэтому в первую очередь умножение или сложение без скобок выполняется умножение. Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить это правило.
- 9 + 7 − 4 × 2 = ? Сначала 4 × 2 = 8, затем 9 + 7 = 16, наконец 16 − 8 = 8
- 60 : 5 + 3 × 4 = ? Сначала 3 × 4 = 12, затем 60 : 5 = 12, наконец 12 + 12 = 24
- 15 − 7 + 10 : 2 = ? Сначала 10 : 2 = 5, затем 15 − 7 = 8, наконец 8 + 5 = 13
Порядок действий в выражениях со скобками
Если в математическом выражении присутствуют скобки, то порядок действий меняется. Что первое сложение или умножение в этом случае зависит от расположения скобок. Правило такое:
- Сначала выполняются все действия внутри скобок в порядке приоритета операций;
- Затем выполняются операции умножения и деления вне скобок;
- Наконец, выполняются операции сложения и вычитания.
То есть скобки как бы "перебивают" обычный приоритет операций. Давайте рассмотрим пример:
(2 + 3) × 5 = ?
Здесь сначала нужно сложить 2 и 3 внутри скобок: (2 + 3) = 5. А затем умножить получившийся результат на 5: 5 × 5 = 25.
Еще один пример:
9 + (4 − 2) × 7 = ?
В скобках 4 − 2 = 2, затем 2 × 7 = 14, наконец 9 + 14 = 23.
Как видим, приоритет скобок выше, чем обычный порядок сложения и умножения. Поэтому что выполняется первым умножение или сложение со скобками зависит от их расположения.
Советы по решению математических выражений
Чтобы избежать ошибок при вычислении значений математических выражений, рекомендуется:
- Внимательно прочитать выражение целиком, найти все скобки;
- Определить порядок действий исходя из правил приоритета и скобок;
- Записать пошаговое решение, выполняя операции в нужном порядке;
- Проверить правильность вычислений.
Такая методика позволит избежать ошибок и найти верное значение математического выражения.
Подводя итог, отметим, что ответ на вопрос "что делается первым умножение или сложение" в примерах без скобок - умножение слева направо. А в выражениях со скобками сначала выполняются действия внутри них. Знание правил порядка действий и их приоритета ключевое для успешного решения математических примеров и выражений.
Сложные математические выражения
Рассмотренные выше правила действуют и для более сложных математических выражений, содержащих несколько пар скобок, переменные, дроби, корни и другие элементы. Главное - помнить о приоритете скобок и очередности выполнения арифметических операций.
Например, в выражении:
√x + 3/5 / 2 × (7 + y)
сначала нужно найти значения во внутренних скобках и под корнем, затем сложить эти значения и поделить на 2, после этого умножить результат на сумму 7 + y. При этом порядок арифметических операций внутри каждого блока сохраняется согласно их приоритету.
Порядок действий с функциями
Если в выражении присутствуют функции (синус, логарифм, степень и т.д.), то сначала находится значение функции, а затем выполняются остальные операции.
Например: sin^2(x) + 3
Сначала вычисляется sin^2(x), а затем складывается с 3.
Порядок действий с модулем
Модуль также имеет высокий приоритет, поэтому сначала находится абсолютная величина выражения внутри модуля, а затем выполняются остальные операции.
Например, в выражении: |x - 1| + 2
сначала находится |x - 1|, а затем складывается 2.
Порядок действий с дробями
Если в выражении есть обыкновенные или десятичные дроби, то:
- Сначала отдельно находятся числитель и знаменатель дроби;
- Затем числитель делится на знаменатель;
- Полученное значение подставляется в исходное выражение.
Например, в дробном выражении: (2 + 1) / (3 - 1) × 5
сначала находим (2 + 1) / (3 - 1) = 3 / 2, а затем умножаем на 5.
Порядок действий при решении уравнений
Правила порядка действий применимы и при решении уравнений. Например, в уравнении:
(x + 3) / 4 = 5
сначала нужно найти значение выражения в скобках x + 3, затем поделить его на 4 и приравнять к 5.
Порядок действий в текстовых задачах
Новой ступенью развития умений решать текстовые задачи, является введение физической формулы равномерного движения: S=V*T. С помощью этой формулы можно решать несколько разновидностей задач: на прямую и обратную пропорциональные зависимости; такие процессы как «купля-продажа», «целое, разбитое на равные части», «работа», «площадь прямоугольника» и т.д.
Новый, очень серьезный класс задач появляется при изучении процентов, обыкновенных и десятичных дробей. И начинается он с элементарных задач (процент или дробь от числа, число по его процентам или дроби) и заканчивается достаточно сложными для понимания и решения учащимися задачами на растворы, смеси, сплавы.
В текстовых задачах также важно соблюдать порядок действий. Сначала необходимо записать числовое выражение по условию задачи, используя скобки, если в этом есть необходимость. После этого решение проводится по известным правилам.
Ошибки порядка действий в выражениях
Наиболее частой ошибкой является нарушение порядка действий, например:
- Сложение/вычитание вместо умножения/деления и наоборот;
- Вычисление значений в выражениях без учета приоритета скобок.
Чтобы избежать таких ошибок, следует тщательно контролировать выполнение каждого шага вычислений и регулярно тренироваться на примерах различной сложности.
Порядок выполнения действий в Excel
Если выражение необходимо вычислить в табличном процессоре Excel, также можно использовать скобки для явного задания порядка выполнения действий. Например, формула =(A2+B2)*C2/D2 будет вычислена в верном порядке действий, независимо от значений ячеек A2, B2, C2 и D2.
Мнемонические правила
Для запоминания правильного порядка действий можно использовать различные мнемонические фразы и аббревиатуры, например: "Сначала Умножение и Деление, Потом Сложение и Вычитание" или "СУД-ПСВ". Такие правила помогут не совершать ошибок при устных вычислениях и решении сложных выражений.
Порядок действий при вычислении площадей и объемов
Правила порядка выполнения арифметических действий применимы и при вычислении площадей, объемов и других геометрических величин по известным формулам. Например, чтобы найти площадь прямоугольника со сторонами a и b надо сначала перемножить эти стороны, а затем результат умножить на коэффициент в формуле:
S = a × b
Порядок действий в формулах со степенями
В формулах, содержащих степени, нужно сначала вычислить степень, а затем выполнять остальные действия. Например, чтобы найти ускорение свободного падения g по формуле:
g = G × M / R^2
необходимо сначала возвести радиус R в квадрат и только потом делить и умножать.
Порядок вычислений в выражениях с тригонометрическими функциями
В выражениях, содержащих синус, косинус или тангенс угла, нужно сначала вычислить значение тригонометрической функции, а затем проводить арифметические операции. При этом радианная мера угла преобразуется в градусы.
Например: sin(30°) + cos(45°)
Проверка правильности вычислений
В любом случае после решения математического выражения с несколькими действиями рекомендуется дополнительно проверить правильность выполненных вычислений путем подстановки полученного значения в исходное выражение. Это позволит выявить возможные ошибки в порядке действий или операций.
Рекомендации по тренировке
Чтобы хорошо запомнить правила порядка действий и выработать устойчивые навыки вычислений, рекомендуется как можно чаще решать разнообразные математические выражения и задачи. Только регулярная практика поможет избежать типовых ошибок.
