Параллелограммы окружают нас повсюду – от архитектурных сооружений до обычных предметов, которыми мы пользуемся каждый день. Но мало кто задумывается, как же вычислить углы этой геометрической фигуры. А ведь эти знания могут пригодиться не только школьникам, но и взрослым при решении многих практических задач!
Определение параллелограмма
Итак, давайте разберемся, что из себя представляет параллелограмм. Это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны по длине. К параллелограммам относятся:
- Прямоугольник
- Ромб
- Квадрат
Важной особенностью параллелограмма являются его диагонали . Это отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры. Диагонали параллелограмма обладают следующими свойствами:
- Они пересекаются в середине
- Делят параллелограмм на два равных треугольника
Чтобы определить, является ли четырехугольник параллелограммом, используют признаки :
- Если противоположные стороны параллельны и равны
- Если противоположные стороны равны
- Если диагонали пересекаются в середине
Общие правила нахождения углов в параллелограмме
Итак, приступим к вычислению углов в этом четырехугольнике. Важно помнить, что противоположные углы параллелограмма равны . Поэтому достаточно найти один угол – и мы автоматически получим значение противолежащего.
Существует несколько способов определить угол параллелограмма. Рассмотрим основные.
По боковой стороне и высоте
Для этого используется формула:
sin α = h / b
где α – искомый острый угол
h – высота параллелограмма
b – боковая сторона
Например, если высота равна 5 см, а боковая сторона – 10 см, то:
sin α = h / b = 5 / 10 = 0,5
α = 30°
Значит, острый угол параллелограмма равен 30°, а тупой – 150°.
По площади и сторонам
Другая формула для нахождения острого угла:
sin α = 2S / (a × b)
где S – площадь параллелограмма
a, b – стороны, образующие угол
Предположим, площадь фигуры равна 100 м2, а ее стороны – 40 и 60 метров. Тогда:
sin α = 2*100 / (40 * 60) = 0,25
Острый угол параллелограмма будет равен 30°.
По высоте, стороне и периметру
Еще одна формула, помогающая найти угол:
sin α = (2h + a) / P
где h – высота параллелограмма
a – боковая сторона
P – периметр фигуры
Допустим, высота равна 15 метрам, сторона – 20 метров, а периметр составляет 100 метров. Расчет будет следующим:
sin α = (2*15 + 20) / 100 = 0,35
α = 35°
Значит, один из острых углов параллелограмма равен 35°, а тупой угол составит 145°.
Как видите, нет ничего сложного в нахождении углов параллелограмма, если знать основные формулы и пользоваться известными свойствами этой фигуры.
Через длину диагоналей
Еще один удобный способ - найти угол параллелограмма через длину его диагоналей. Для этого используются следующие формулы:
Для нахождения острого угла:
sin α = d / √(a2 + b2)
где α - острый угол
a, b - стороны параллелограмма
d - короткая диагональ
Для определения тупого угла:
sin α = D / √(a2 + b2)
где α - тупой угол
D - длинная диагональ параллелограмма
Например, если стороны параллелограмма равны 15 и 20 см, а короткая диагональ - 10 см, то острый угол составит:
sin α = 10 / √(152 + 202) = 0,5
α = 30°
Особенности прямоугольника и ромба
Прямоугольник и ромб также относятся к параллелограммам. Поэтому при вычислении их углов можно использовать все описанные выше формулы и теоремы.
Однако у этих фигур есть и специфические черты, которые стоит учитывать.
Например, в прямоугольнике один из углов всегда равен 90°. А в ромбе все углы тупые, причем противоположные углы равны.
Рассмотрим задачи с этими видами параллелограммов.
Задача 1. Диагональ ромба равна 12 см, а одна из сторон - 8 см. Найти углы ромба.
Решение. Воспользуемся формулой для тупого угла:
sin α = 12 / √(82 + 82) = 0,75
α = 105°
Так как в ромбе противоположные углы равны, то второй тупой угол тоже будет равен 105°, а каждый из острых углов составит 75°.
Задача 2. В прямоугольнике со сторонами 30 и 40 см найти все углы.
Решение. Один прямой угол задан условием и равен 90°. Второй прямой угол, как противоположный первому, тоже будет равен 90°. А острые углы, являясь смежными с прямыми, составят по 45° каждый.
Особенности квадрата
Квадрат – частный случай как прямоугольника, так и ромба. Поэтому при вычислении его углов также применимы все вышеперечисленные формулы и теоремы.
Однако есть одна важная особенность: в квадрате все углы являются прямыми и равны 90°.
Например:
Задача. В квадрате со стороной 10 см найти величину углов.
Решение. Так как все стороны квадрата равны, а фигура обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба, то все углы в нем прямые и равны 90°.
