Вы когда-нибудь видели, как график функции уходит в бесконечность? А знаете ли вы, куда именно он уходит и как это математически описать? Давайте разберемся!
Понятие асимптоты графика функции
Асимптота - это прямая линия, к которой график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает ее.
Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Давайте разберемся с каждым видом подробнее.
- Вертикальная асимптота - прямая линия, параллельная оси ординат.
- Горизонтальная асимптота - прямая линия, параллельная оси абсцисс.
- Наклонная асимптота - прямая под произвольным углом к осям координат.
Сколько асимптот может быть у функции? Вариантов несколько:
- Ни одной асимптоты. Например, у функции
y = x^2асимптот нет. - Одна асимптота. Как правило, у показательной или логарифмической функции.
- Две асимптоты. Встречается у тригонометрических функций, например арктангенса.
- Бесконечно много асимптот. Бывает у функций вида
y = tg(x)илиy = ctg(x).
На графике функции асимптоты всегда изображаются пунктирными линиями. Рассмотрим несколько примеров:
Теперь, когда мы разобрались, что такое асимптоты, давайте перейдем к вопросу, как найти асимптоты графика функции.
Поиск вертикальных асимптот графика
Чтобы найти вертикальные асимптоты функции, нужно:
- Найти точки разрыва функции, т.е. точки, где функция не определена.
- В этих точках вычислить односторонние пределы функции.
- Если хотя бы один предел равен +/- бесконечности, то в этой точке есть вертикальная асимптота.
Давайте рассмотрим конкретный пример:
Сначала находим точку разрыва x=-2. Затем вычисляем односторонние пределы:
- слева:
lim f(x) = -∞ - справа:
lim f(x) = +∞
Оба предела равны +/- бесконечности, значит в точке x=-2 есть вертикальная асимптота.
Аналогично можно найти сколько угодно вертикальных асимптот у любой функции. Главное - вычислить односторонние пределы в точках разрыва. Как найти асимптоты этим способом довольно просто!
Поиск горизонтальных и наклонных асимптот
Чтобы определить, есть ли у функции горизонтальные или наклонные асимптоты, нужно вычислить пределы функции при стремлении аргумента к плюс/минус бесконечности. Проще говоря, посмотреть, к каким значениям стремится функция при очень больших положительных и очень больших отрицательных значениях аргумента.
Условия существования асимптот таковы:
- Если оба предела конечны и не равны друг другу, то есть наклонная асимптота.
- Если оба предела конечны и равны между собой, то есть горизонтальная асимптота.
- Если хотя бы один предел бесконечен - асимптоты нет.
Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Вычислим пределы:
- при x-> +∞:
lim f(x) = 0 - при x-> -∞:
lim f(x) = 0
Оба предела конечны и равны 0, значит есть горизонтальная асимптота y=0.
Аналогично можно найти наклонные асимптоты, вычислив соответствующие пределы функции. Как находить наклонные асимптоты - это немного сложнее, чем для других видов, но тоже решаемо!
В следующей части статьи мы разберем пошаговый алгоритм нахождения асимптот любого вида и приведем различные примеры.
Полный алгоритм нахождения всех асимптот функции
Итак, давайте еще раз вспомним основные этапы поиска асимптот:
- Найти область определения функции.
- Выявить точки разрыва функции.
- В точках разрыва вычислить односторонние пределы.
- Если пределы ±∞ — есть вертикальные асимптоты.
- Вычислить пределы функции при x→±∞.
- Проанализировать пределы на наличие горизонтальных и наклонных асимптот.
Давайте применим этот алгоритм к конкретной функции:
- Область определения: всюду, кроме точки х=1.
- Точка разрыва x=1.
- Пределы в точке 1: слева −∞, справа +∞.
- Значит, есть вертикальная асимптота х=1.
- Пределы при ±∞ равны 3.
- Значит, есть горизонтальная асимптота у=3.
Мы нашли все асимптоты данной функции! Таким образом можно исследовать любую функцию на наличие асимптот.
Что делать, если асимптоты отсутствуют
Бывают функции, у которых нет никаких асимптот. Что же делать в таком случае?
- Проверить область определения и убедиться, что точек разрыва нет.
- Вычислить пределы функции при стремлении аргумента к ±∞.
- Если оба предела конечны или равны ±∞ — асимптот нет.
Например, рассмотрим функцию y = x^3. У нее нет точек разрыва, а пределы при ±∞ равны ±∞. Следовательно, асимптот здесь точно нет.
Пример исследования функции на все виды асимптот
В качестве последнего примера давайте подробно исследуем функцию:
- Область определения: все действительные числа.
- Точек разрыва нет.
- Предел при +∞ равен 2.
- Предел при -∞ равен -∞.
Итак, у функции есть горизонтальная асимптота y=2 при x→ +∞ и асимптот нет при х→-∞.
Теперь мы полностью разобрали алгоритм поиска асимптот для произвольной функции!
Практическое применение асимптот графика
Найденные асимптоты можно использовать для:
- Построения приближенного графика функции.
- Прогнозирования поведения функции при очень больших и очень малых значениях аргумента.
- Понимания особенностей функции в различных точках.
Зная асимптоты, можно сделать вывод, что график:
- Бесконечно приближается к этим асимптотам, но не пересекает их.
- Может "вести себя" по-разному слева и справа от точки разрыва.
- Имеет разрывы первого рода в точках вертикальных асимптот.
